Задания для самоконтроля
1.Вычислите неопределенные интегралы:
а) = =
б) =
Таким образом,
=
Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой
С = , поэтому окончательно получаем
=
в) Интеграл табличный, поэтому можно переходить к непосредственному вычислению
г) Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то умножив подынтегральное выражение на , получим
= = = =
д) Сделаем подстановку . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:
Следовательно,
=
Заменив t его выражением из подстановки, получим
=
е) Полагая
найдем
По формуле интегрирования по частям получаем:
=
ж) Положим , тогда , или .
Следовательно,
=
з) Положим
Тогда
Следовательно,
2. Вычислите определенные интегралы:
а) =
б)
.
в) = .
г)
.
д) .
е) = .
ж)
з) Применяя формулу понижения степени, получаем
,
где = .
Следовательно, ,
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
|
а) , , , .
Построим линии, ограничивающие фигуру.
– парабола, симметричная относительно оси о у, вершина (0;1).
– прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси о у.
– аналитическое выражение оси о х.
– аналитическое выражение оси о у.
Построенная фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле
.
, , .
Тогда (кв. ед.).
б) , , , .
Построим линии ограничивающие фигуру.
– прямая; если , то ,
если , то .
Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).
– прямая, параллельная оси о х.
– прямая, параллельная оси о х.
– ось о у.
Фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси о у, поэтому .
Тогда (ед2).
в) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Построим линии ограничивающие фигуру.
- парабола, симметричная относительно оси OY.
Т.к. , то вершина .
Координаты вершины также можно определить по формуле
- ось OX.
Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.
Т.о. , на этом отрезке функция , поэтому .
.
Тогда (ед2).
г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Построим линии, ограничивающие фигуру.
– парабола, симметричная относительно оси о у, вершина (0;0).
– прямая, если , то ,
если , то .
Найдём точки пересечения линий:
Т.о.
.
(ед2).
Приложение 1
к УМП по дисциплине
«____________________»