Пример. Дан треугольник с вершинами А(–2; 0), В(2; 4), С(4; 0). Написать уравнения медианы АЕ, высоты AD и найти длину медианы АЕ.
Решение:
1) Найдем уравнение высоты AD как прямой, проходящей через точку А(–2; 0) перпендикулярно вектору :
2) Найдем уравнение медианы АЕ как прямой, проходящей через две точки А и Е. Координаты точки Е найдем как координаты середины отрезка СВ:
E(3; 2). Уравнение АЕ:
3) Найдем длину медианы АЕ:
;
, .
Ответ: .
Пример. Даны вершины треугольника , и . Составить уравнения его высот.
Решение:
Пусть - высота треугольника . Рассмотрим два вектора и . По условию эти векторы ортогональны. Значит, .
Аналогично находим остальные высоты треугольника.
Ответ: .
Пример. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2),B(5; -2), С(1; 0).
Решение:
1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки
;
Найдем уравнение медианы AM. Для этого найдем координаты точки М - середины отрезка ВС:
.
Уравнение AM:
– уравнение медианы, проведенной из вершины А
|
|
2) Найдем уравнения СВ и CN; N(x; у), где
.
Тогда ВС:
Ответ:
;
BC: x + 2y – 1 = 0;
CN: y = 0;
CA: x – y – 1 = 0;
BF: x + y – 3 = 0.