2017-12-14
4999
Интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) совпадает с функцией f(x) в узлах интерполяции х 0, х 1, х 2, …, хn. Чтобы оценить степень приближения интерполяционного многочлена в точках, отличных от узлов интерполяции, надо сделать дополнительные предположения о поведении функции f(x), заданной таблично.
Будем считать, что функция f(x) дифференцируема n + 1 раз на отрезке [a,b]. Погрешность 
. Введем вспомогательную функцию 
. Функция имеет n + 1 корень, т.е. 
, т.к. в узлах интерполяции 
и один из сомножителей 
.
Подберем k таким образом, чтобы 
, т.е.
,
тогда получим
.
Определим численное значение коэффициента k. Для этого продифференцируем n + 1 раз. Так как обращается в ноль на [ a,b ] в n + 2 точках: х 0, х 1, х 2, …, хn, то на основании теоремы Ролля производная от обращается в ноль, по крайней мере n + 1 раз на интервале [ a, b ].
Применим снова теорему Ролля к функции 
. Вторая производная 
обращается в ноль не менее n раз на интервале (а, b). Продолжая этот процесс, придем к выводу, что производная (n + 1) порядка функции имеет хотя бы один корень, т.е. 
.
Тогда
,
но т.к.
.
Получим
,
.
Полагая, что Mn+ 1 = max | f ( n+ 1)(x)| получаем, оценку погрешности х Î [ a, b ] для интерполяционного многочлена Лагранжа
.
ЛЕКЦИЯ 7. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
Табулирование функций в большинстве случаев производится для равноотстоящих значений аргумента, т.е. 
, где i = 0, 1, 2, …, n, а h – шаг интерполяции. Для вывода интерполяционных формул для равноотстоящих узлов интерполяции введем понятие «конечной разности».
Назовем конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции
,
,
… (7.1)
,
где h = const, или в общем виде
(7.2)
или
.
Из конечных разностей 1-го порядка можно образовать конечные разности 2-го порядка
; 
.
В общем виде конечная разность n -ого порядка записывается так:
.
