Непрерывно-стохастические модели 4 страница

(III.12)

Дисперсионный анализ можно провести по следующему алгорит­му: подсчитывают 1) итоги по столбцам

(III.13)

2) сумму квадратов всех наблюдений

(III.14)

3) сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

(III.15)

4) квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений
(корректирующий член),

(III.16)

5) сумму квадратов для столбца

(III.17)

6) — общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом,

(III.18)

7) — остаточную сумму квадратов для оценки ошибки экспе­римента

(III.19)

8)дисперсию

(III.20)

9)дисперсию

(III.21)

Результаты расчета обычно представляются в виде таблицы дисперсионного анализа (табл. 6).

 

Таблица 6. Однофакторный дисперсионный анализ (с равным числом повторенийопытов)

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
A
Остаток
Общая сумма

 

Если отношение , то влияние фактора А следует считать незначимым. При этом общая дисперсия связана только с фактором случайности и может служить оценкой для дисперсии воспроизводимости. Такая оценка лучше, чем (III.7), так как имеет большее число степеней свободы, равное . При интерпретации результатов дисперсионного анализа необходимо иметь в виду, что очень низкое значение дисперсионного отношения может быть связано с тем, что влияние какого-то важного неконтролируемого в ходе эксперимента фактора не было рандомизировано. Это может увеличить дисперсию внутри уровней, а дисперсию между уровнями оставить неизменной, что уменьшает дисперсионное отношение. Результаты экспериментов при этом не подчиняются модели (III. 1).

Если же справедливо неравенство (III. 12), различие между диспер­сиями и значимо и, следовательно, значимо влияние фактора А. Определим оценку влияния фактора А из (III.11):

(III.22)

При этом нулевая гипотеза отвергается и различие между средними следует считать значимым. Для выясне­ния вопроса, какие именно средние различны, применяются критерии Стьюдента, Фишера или ранговый критерий Дункана (см. гл. 11.14).

При интерпретации результатов дисперсионного анализа для моде­ли со случайными уровнями обычно интересуются не проверкой гипотез относительно средних, а оценкой компонент дисперсий. В отличие от модели с фиксированными уровнями выводы по случайной модели распространяются на всю генеральную совокупность уровней.

Рассмотрим схему вычислений для разного числа параллельных наблюдений. Пусть на уровне а, проведено и, параллельных наблю­дений. Общее число всех наблюдений равно

Определим: 1) итоги по столбцам

(III.23)

2) суммы квадратов всех наблюдений

(III.24)

3) сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце,

(III.25)

4) квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений,

(III.26)

Дальнейшие расчеты проводятся по формулам (III.17)— (III.21). Если дисперсии и значимо отличаются друг от друга, диспер­сию фактора А вычисляют по формуле

(III.27)

Пример1. Рассмотрим применение однофакторного дисперсионного анализа для выяснения влияния вида галоидного алкила (фактор А)на процесс радикальной поли­меризации. Изучалось влияние на выход полимера пяти различных галогеналкилов: , , , , . Результаты эксперимента с различными галоидными алкилами (фиксированные уровни фактора А)приведены в таблице.

 

Номер наблюдений	Уровни фактора А
	79,80 86,30 86,50 92,30 76,50 87,05 82,50 90,00	87,30 69,60 81,75 77,95 83,65 64,80 67,30 75,45	42,45 64,30 78,90 61,00 31,30 72,85 58,65 52,50	76,00 83,50 72,80 89,00 76,50 87,45 74,50 93,15	70,70 64,65 38,50 77,00 91,50 68,00 38,05 79,95
Итоги

 

Определим средние значения выхода для каждого галоидного алкила:

и общее среднее для всех результатов

Для облегчения вычислений будем вместо значений у рассматривать отклонения этих значений от величины, близкой к общему среднему всех результатов, равной 73 (см. таблицу).

 

Номер наблюдений	Уровни фактора А
	6,8 13,3 13,5 19,3 3,5 14,05 9,5 17,0	14,3 -3,4 8,75 4,95 10,65 -8,2 -5,7 2,45	-30,55 -8,7 5,9 -12,0 -41,7 -0,15 -14,35 -20,5	3,0 10,5 -0,2 16,0 3,5 14,45 1,5 20,15	-2,3 -8,35 -34,5 4,0 18,5 -5,0 -34,95 6,95
Итоги	96,95	23,8	-122,05	68,9	-55,65

 

По данным таблицы проведем вычисления по формулам (III.14) — (III.21) в соответ­ствии с вышеприведенной схемой. Результаты расчета представлены в таблице.

 

Номер наблюдений	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат
A Ошибка Общая сумма		4084,5 5281,46 9365,96	150,9

 

Полученные в результате расчета дисперсии сравним по критерию Фишера:

По табл. 5 приложения находим . Так как , различие галогеналкилов следует признать значимым. Установив при помощи дисперсионного анализа тот факт, что средние значения выходов полимера в целом существенно различаются между собой, перейдем к сравнению влияния отдельных галогеналкилов. Проведем это срав­нение по критерию Дункана (см. гл. II, 14) с доверительной вероятностью . Нормированная ошибка среднего равна

Расположим средние значения в порядке возрастания их величин и выпишем из табл. 7 приложения значимые ранги для и :

57,74 66,04 75,97 81,61 85,1

 

...... 2 3 4 5

Ранги, ...... 2,875 3,025 3,11 3,185

...... 12,5 13,2 13,52 13,09

- различие значимо

- различие значимо

- различие незначимо

- различие незначимо

- различие значимо

- различие значимо

- различие незначимо

- различие значимо

- различие незначимо

- различие незначимо

 

3. Двухфакторный дисперсионный анализ. Изучается влияние на процесс одновременно двух факторов А и В. Фактор А исследуется на уровнях . фактор В —на уровнях .Допустим, что при каждом сочетании уровней факторов А и В проводится n параллельных наблюдений (табл. 7).

 

Таблица 7. Данные для двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями

B	A	Итоги
		…		…
			…		…
			…		…
			…		…
			…		…
			…		…
Итоги			…		…

 

Общее число наблюдений равно . Результат наблюдения мож­но представить в виде следующей модели:

(III.28)

где —общее среднее; —эффект фактора А на i -муровне, ; —эффект фактора В на j -муровне, ; — эффект взаимодействия факторов.

Эффект взаимодействия представляет собой отклонение среднего по наблюдениям в (ij)-йсерии от суммы первых трех членов в модели (III.28), (q= 1,2,...,n) учитывает вариацию внутри сериинаблюдений (ошибка воспроизводимости). Будем полагать, как и преж­де, что распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Если предположить, что между факторами нет взаимодействия, то можно принять линейную модель:

(III.29)

Эта модель обычно применяется при отсутствии параллельных наблюдений (табл. 8):

 

Таблица 8. Данные для двухфакторного дисперсионного анализа без повторений

B	A	Итоги
. . .	. . .	. . .		. . .	. . .
Итоги

 

Рассмотрим вначале линейную модель (III.29). Через и обозначим средние, соответственно, по столбцам и по строчкам:

(III.30)

(III.31)

через — среднее всех результатов:

(III.32)

Рассеяние в средних по столбцам относительно общего среднего не зависит от фактора В,так как все уровни фактора В усреднены. Это рассеяние связано с влиянием фактора А и случай­ного фактора. Так как дисперсия среднего (см. гл. II, 5) в т раз меньше дисперсии единичного измерения, имеем

(III.33)

В свою очередь, рассеяние в средних по строчкам не зависит от фактора А и связано с влиянием фактора В:

(III.34)

Равенства (III.33) и (III.34) позволяют оценить влияние факторов А и В,если известна оценка дисперсии . Чтобы оценить фактор случайности при отсутствии параллельных наблюдений, поступим следующим, образом. Найдем дисперсию наблюдений по i -му столбцу:

(III.35)

Эта дисперсия обусловлена влиянием фактора В и фактора случай­ности

Равенство станет более точным, если вместо использовать средневзвешенную дисперсию по всем столбцам:

(III.36)

Вычитая (III.35) из (III.34), получим

(III.37)

Отсюда

(III.38)

Обозначим полученную оценку (III.38) для дисперсии через . Число степеней свободы равно . Введем также сле­дующие обозначения:

(III.39)

(III.40)

Величины и можно считать выборочными дисперсиями и степенями свободы соответственно. Проверяют нуле­вые гипотезы о незначимости влияния факторов А и В по критерию Фишера. Если дисперсионное отношение

(III.41)