Простейший прием выделения периодической компоненты – это сглаживание временного ряда по методу скользящей средней.
Предварительно следует определиться с видом модели временного ряда – аддитивной или мультипликативной. Это можно сделать на основе анализаграфика временного ряда. Если амплитуда периодических колебаний примернопостоянна, то следует выбрать аддитивную модельY = T + S + E.
Если амплитуда периодических колебаний возрастает или уменьшается, то следует выбрать мультипликативнуюмодель временного ряда
Y = T · S · E.
Сглаженный по методу скользящей средней временной ряд уже не содержит периодической компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S, E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие этапы:
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений периодической компоненты S.
3. Устранение периодической компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т•Е) в мультипликативной модели.
|
|
4. Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т•S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Рассмотрим на примере методику построение аддитивной модели временного ряда.
Исходная информация: данные об объеме потребления электроэнергии жителями региона за последние 4 года.
1 этап. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (табл. 3). Для этого:
- суммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени и определяем условные годовые объемы потребления эл/энергии (графа 3 табл. 3);
- разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (графа табл. 3), при этом полученные выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
- приводим эти значения в соответствие с фактическим моментом времени, для чего находим средние значения их двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (графа 5 табл. 3).
Таблица 3
Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели
Кварталы | Потребление эл/энергии | Итого за 4 квартала | Скользящая средняя за 4 квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6=2-5 |
6,0 | |||||
4,4 | 24,4 | 6,10 | |||
5,0 | 25,6 | 6,40 | 6,250 | -1,250 | |
9,0 | 26,0 | 6,50 | 6,450 | 2,550 | |
7,2 | 27,0 | 6,75 | 6,625 | 0,575 | |
4,8 | 28,0 | 7,00 | 6,875 | -2,075 | |
6,0 | 28,8 | 7,20 | 7,100 | -1,100 | |
10,0 | 29,6 | 7,40 | 7,300 | 2,700 | |
8,0 | 30,0 | 7,50 | 7,450 | 0,550 | |
5,6 | 21,0 | 7,75 | 7,625 | -2,025 | |
6,4 | 32,0 | 8,00 | 7,875 | -1,475 | |
11,0 | 33,0 | 8,25 | 8,125 | 2,875 | |
9,0 | 33,6 | 8,40 | 8,325 | 0,675 | |
6,6 | 33,4 | 8,35 | 8,375 | -1,775 | |
7,0 | |||||
10,8 |
|
|
2 этап. Расчет значений периодической компоненты S (табл. 4).
Для этого используются оценки периодической компоненты – разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 табл. 3).
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. (В мультипликативной модели – числу периодов в цикле, т.е. 4.)
В данной модели имеем: 0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.
Определим корректирующий коэффициент: к=0,075/4=0,01875.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом. Получим следующие значения: в 1 квартале S=0,581; во 2 квартале S=-1,977; в 3 квартале S=-1,294; в 4 кварталеS=2,690.
Тогда: 0,581-1,977-1,294+2,690=0.
Таблица 4
Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
Показатель | Год | Кварталы | |||
1ый | - | - | -1,250 | 2,550 | |
2ой | 0,575 | -2,075 | 1,100 | 2,700 | |
3ий | 0,550 | -2,025 | -1,475 | 2,875 | |
4ый | 0,675 | -1,775 | - | - | |
Итого за i-й квартал (за все годы) | х | 1,800 | -5,875 | -3,825 | 8,125 |
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, | х | 0,600 | -1,958 | -1,275 | 2,708 |
Скорректированная сезонная компонента, | х | 0,581 | -1,977 | -1,294 | 2,690 |
3 этап. Устранение периодической компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (табл. 5).
Устраняем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда (графа 4 табл. 5).
4 этап. Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
Проводим аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Применяя МНК, получаем уравнение регрессии:
Подставив в это уравнение значения t, находим уровни Т для каждого момента времени (графа 5 табл. 5). График уравнения тренда представлен на рис. 3.
Таблица 5
Расчет выравненных значений Т и Е в аддитивной модели
t | y | S | T+E= y-S | T | T+S | E= y-(T+S) | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
6,0 | 0,581 | 5,914 | 5,902 | 6,483 | -0,483 | 0,2333 | |
4,4 | -1,977 | 6,337 | 6,088 | 4,111 | 0,289 | 0,0835 | |
5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 4,981 | 0,019 | 0,0004 | |
9,0 | 2,690 | 6,310 | 6,461 | 9,151 | -0,151 | 0,0228 | |
7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | 7,229 | -0,029 | 0,0008 | |
4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | 4,857 | -0,057 | 0,0032 | |
6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 5,727 | 0,273 | 0,0745 | |
10,0 | 2,690 | 7,310 | 7,207 | 9,896 | 0,104 | 0,0108 | |
8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 7,974 | 0,026 | 0,0007 | |
5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | 5,603 | -0,030 | 0,0009 | |
6,4 | -1,294 | 7,694 | 7,766 | 6,472 | -0,072 | 0,0052 | |
11,0 | 2,690 | 8,310 | 7,952 | 10,642 | 0,358 | 0,1282 | |
9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 8,720 | 0,280 | 0,0784 | |
6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 6,348 | 0,252 | 0,0635 | |
7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,519 | 7,218 | -0,218 | 0,0475 | |
10,8 | 2,690 | 8,110 | 8,698 | 11,388 | -0,588 | 0,3457 |
Рис. 3. Потребление энергии жителями региона
5 этап. Расчет полученных по модели значений (Т+S) (графа 6 табл. 5 и рис. 3).
6 этап. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле: Е = Y – (Т+S) – это абсолютная ошибка (графа 7 табл. 5).
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели, а также для выбора наилучшей модели можно использовать сумму квадратов отклонений.
Для данной модели =1,10, а =71,59.
Относительное отклонение: (1-1,10/71,59)*100%=1,5%.
Следовательно, данная аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления эл/энергии за последние 4 года.