Функція розподіл) випадкової величини та її властивості

Тема: Неперервні випадкові величини (HBВ). Функція та щільність розподілу ймовірностей.

Функція розподіл) випадкової величини та її властивості.

Дискретна випадкова величина може бути задана законом розподілу, тобто переліком її значень і відповідних ймовірностей Неперервні випадкові величини задати таблицею неможливо, бо їх значення заповнюють цілий проміжок. Тому треба задати не ймовірності окремих значень, а ймовірність того, що значення випадкової величини попаде в певний інтервал.

Означення 1. Інтегральною функцією F(x) розподілу або функцією розпаділу ймовірностей випадкової величини називається ймовірність того, що випадкова величина X у результаті випробування набуде значення, меншого за значення х, де X - довільне дійсне число:

F(x)= P(X < x). (1)

Зауваження 1. 3 урахуванням (1) можна дати означення неперервної випадкової величини.

Означення 2. Випадкова величина X називається неперервною,

якщо її функція розподілу F(х) є неперервною кусково-диференційовною функцією.

Якщо задано дискретну випадкову величину X: x₁, x₂,..., x_n, тоді її функцію розподілу згідно з (1) можна задати рівністю:

(2)

де p_k = Р(x_k) - ймовірність значення x_k. Звідси виходить, що коли

х_к < х < х_k₊₁, то значення F(x) не змінюється, тобто в точках { x_k }

функція F(x) має розрив першого роду.

Приклад 1. Нехай дискретна випадкова величина задана таблицею:

X
р	0,3	0,1	0,6

Знайти функцію розподілу F(x), накреслити її графік.

Розв'язання. Якщо

1) x <l. то F(x) =P(X < 1) = 0 (ймовірність неможливої події);

2)1< x <4. то F(x)= Р(X =1) = 0,3,

3)4< x ≤8, то

F(x) = P(X =1)+P(X = 4) = 0,3 + 0,1 = 0,4;

4).x>8, то F(x)= P(X≤8) = 1(ймовірність достовірної події) Отже.

Зауваження 2. Графік функції розподілу дискретної випадкової величини розривний. У нашому випадку його зображено на рис. 1.

Розглянемо властивості функції розподілу F(x).

Fl°. 0≤F(x)≤1.

Це випливає з означення функції F(x).

F2°. Функція F(x) -неспадна,тобто F(x₂) ≥F(x₁), якщо x₂ > x ₁,.

Доведення. Нехай x₂ > x₁,. Тоді подію, що випадкова величина

X набуде значення меншого, ніж x ₂,, можна розкласти на дві несумісні події:

1) X набуде значення меншого, ніж х ₁,, з ймовірністю Р(X <x₁);

2) X набуде значення х ₁ ≤ X < х₂ з ймовірністю Р(х₁<Х<х₂).

Тоді Р(х<х₂) = Р(Х < х₁) + Р(х₁ < Х<х₂), або

Р(Х<х₂)- р(х<х₁) = P (х₁ ≤Х<х₂)>0. (2)

Отже, Р(Х <х₂)≥ Р(Х < x₁) що й означає F(x₂)≥ f(x₁).

Наслідок 1. Ймовірність того, що випадкова величина набуде

значення з інтервалу (a,b) дорівнює приросту функції розподілу F(x) на цьому інтервалі, тобто

P(a ≤ X ≤ b) = F(b)-F(a). (3)

Дійсно, це випливає з рівності (2), якщо покласти x ₁ = a, а х ₂ = b.

Наслідок 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X набуде одного певного значення дорівнює нулю.

Доведення. У рівності (3) замінимо а = x ₁, b = x ₁ + ∆ х. Тоді

P (х₁ ≤Х<х₁) + ∆x) = F(x₁ + ∆х) - f(x₁). Якщо Ах -> 0, то

F(x₁ + ∆х) - f(x₁) —» 0 (X - неперервна величина). Отже,

P(х=x ₁ )= 0.

Наслідок 3.

Р(а ≤ X<b) = Р(а < X<b) = Р(а < Х ≤ b) = Р(а ≤ Х ≤ b). Дійсно, наприклад,

P(a ≤ X ≤ b)= P(a ≤ X<b)+P(X = b) =

= Р(а< Х<b)+ Р(Х = а)= Р(а< Х<b).

F3°. Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать

інтервалу (а, b), то:

1) F(x) = 0 при х≤ а; 2) F(x) = 1при х ≥ b.
Доведення. 1) Нехай х≤а, тоді подія Х<а неможлива за

умовою, тому F(x) = P(X<a)= 0.

2) Нехай х ≥ b, тоді подія X<b достовірна, тому

F(x)=P(X ≥ b) = l.

F4°. Функція розподілу неперервна зліва.

Зауваження 4. Якщо можливі значення неперервної випадкової

величини розміщені на всій осі Ох, то

lim F(x) = 0, lim F(x) = l.

Графік функції розподілу неперервної випадкової величини, що набуває значень з (а,b), має вигляд (рис. 2):

Приклад 2. Випадкова величина X задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті експерименту випадкова величина

X набуде значення з інтервалу (0,2).

Розв'язання. За формулою (3) знаходимо

10-2. Щ ільність розподілу ймовірностей та її властивості.

Означення 3. Диференціальною функцією розподілу f(x) (або щільністю розподілу ймовірностей) неперервної випадкової величини називається перша похідна від її інтегральної функції Fix), тобто:

F(x) = F'(x), X ∈ (-∞; +∞). (4)

З означення 3 випливає, що F(x) є первісною для f(x). Крива

y = f(x) називається кривою розподілу ймовірностей або кривою розподілу (рис. 3).

Теорема 1. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина набуде значення з інтервалу (а,b) дорівнює визначеному інтегралу від щільності розподілу в межах від а до b:

P(a≤X<b) = . (5)

Доведення. Згідно з рівністю (3) та формулою Ньютона-Лейбніца, маємо:

Геометричний зміст рівності (5) полягає в тому, що ймовірність

Р (а < X <b)чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої віссю Ох, кривою розподілу f(x) і прямими х = а, х = b (рис. 3).

Зауваження3. Якшо f(x) – парна, то

Наслідок. Функція F(x) розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини виражається через щільність розподілу f(x) за допомогою рівності:

(6)

Дійсно, за означенням F(x)=P(X<x), тобто

— ∞ < X < х, тому згідно з (4) знаходимо

Зауваження 4. Для дискретної випадкової величини поняття щільності розподілу не розглядається.

Приклад 3. Знайти щільність розподілу випадкової величини X, заданої функцією розподілу:

Розв'язання За означенням щільності розподілу f(х) — F'(x) знаходимо:

Графіки у = F(x) і у = f(x) зображено на рис. 4 (а, б).

Розглянемо властивості щільності розподілу f(x):

f1°. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини є

невід'ємною функцією, тобто f(x) ≥0.

Дійсно, це випливає з того, що функція F(x) розподілу є неопадною, тоді f(x) = F'(x) ≥0.

f2°. Невласний інтеграл від щільності розподілу ймовірностей

випадкової величини у нескінченних межах дорівнює одиниці:

Дійсно, означає ймовірність

достовірної події Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a,b), то

fЗ°. Якщо випадкова величина X набуває значення з інтервалу (а,b), то f (x) = 0 при x < а та при х > b, тому що F(х)= 0 при х < а і F(x)= 1 при х>b.

f4°. Щільність розподілу f (x) є границею відношення ймовірності того, що випадкова величина набуде значення з інтервалу (х,х+ ∆ х) , до довжини інтервалу ∆ х, коли ∆ х → 0.