Приклади обчислення математичного сподівання ДВВ

1. Біномний розподіл ДВВ.

Теорема 1. Математичне сподівання М(Х) числа появи події А в п незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань п на ймовірність р (0 < р < 1) появи події А в кожному випробуванні:

М(Х) = пр. (10)

Доведення.

Приклад 4. Ймовірність влучення в ціль при стрільбі гармати

дорівнює р = 0,6. Знайти математичне сподівання М(X) загального числа влучень, якщо зроблено 10 пострілів.

Розв'язання. М (X) = пр = 10 ∙ 0,6 = 6 (влучень).

2. Геометричний розподіл ДВВ.

Теорема 2. Якщо ДВВ X мас геометричний розподіл, то її

математичне сподівання М(Х) = ¹/_p, де р (0 < р < 1) - ймовірність

Появи події в одному випробуванні.

Доведення. За умовою теореми ДВВ має геометричний розподіл,

тому P(X=k) = q^k-1 p, (k = 1,∞). Тоді

Пояснення. При 0 < q < 1 степеневий ряд можна почленно диференціювати, і сума одержаного ряду дорівнює похідній від суми ряду, тобто

3.Розподіл Пуассона.

Теорема 3. Якщо ДВВ X має розподіл Пуассона з параметром А,

то її математичне сподівання М(Х) =λ

Доведення За умовою Д ВВ мас розподіл Пуассона з параметром λ, тому (k = 0,∞). Отже,