Властивості математичного сподівання ДВВ

М1°. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій

М(С) = С (4)

М2°. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

М(СХ) = СМ(Х). (5)

Наведені властивості випливають із означення математичного сподівання.

М3°. Математичне сподівання добутку двох незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

М(Х∙ Y) = М(Х) ∙ М(Y). (6)

Доведення. Нехай незалежні випадкові величини X та Y мають закони розподілу:

X	x1	x2
P	p1	p2

Y	y1	y2
Р	g1	g2

 

 

Для спрощення розглянемо випадкові величини, які набувать лише двох значень. По аналогії з випадковими подіями дамо означення незалежних випадкових величин.

Означення 2. Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуває інша випадкова величина. У противному разі випадкові величини залежні.

Означення 3. Добутком незалежних випадкових величин X і Y називається випадкова величина XY, можливі значення якої дорівнюють добуткам кожного можливого значення X на кожне можливе значення Y. Ймовірності добутків цих значень дорівнюють добуткам ймовір­ностей співмножників.

Таким чином, закон розподілу добутку XY буде

XY	x1y1	x1y2	х2 у1	х2у2
Р	p1g1	p1g2	p2g1	p2g2

Нехай усі добутки різні. Тоді за формулою (1) знаходимо:

M(XY) = p₁g₁x₁y₁+ p₁g₂x₁y₂+ p₂g₁x₂y₁+ p₂g₂x₂y₂ = y₂ g₂ (x₁p₁ +x₂p₂)=

(x₁p₁ +x₂p₂)(y₁g₁ +y₂ g₂) = M(X)M(Y)

Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних ДВВ дорівнює добутку їх математичних сподівань.

Наприклад, у випадку трьох ДВВ запишемо:

М(XYZ) = M(X) M(Y) M(Z). (7)

Формула доводиться методом математичної індукції.

Приклад 2. Випадкові величини X та Y задані законами розподілу:

Y	7	9
Р	0,8	0,2

X	2	4	5
Р	0,1	0,3	0,6

 

 

Знайти М(XY).

Розв'язання. Знайдемо М(Х) = 0,2 + 1,2 + 3 = 4,4;

М(Y) = 5,6 + 1,8 = 7,4. Отже, з рівності (6) знаходимо М(XY) = 4,4 * 7,4 = 32,56.

М4°. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків:

M(X+Y)= M(X)+M(Y). (8)

Доведення. Перш за все наведемо

Означення 4. Сумою випадкових величин X і Y називається випадкова величина X+Y.можливі значення якої дорівнюють сумі кожного можливого значення випадкової величини X і кожного можливого значенням Y. При цьому ймовірності можливих значень випадкової величини X + Y для незалежних випадкових величин X і Y дорівнюють добуткам ймовірностей доданків; для залежних - добуткам ймовірностей одного доданка на умовну ймовірність іншого.

Нехай дискретні випадкові величини X і Y задані законами розподілу:

X	x1	х2		Y	y1	y2	p1+p2	= 1
P	P1	p2		Р 106	g1	g2	g1+g2	= 1

Х+ Y	x1 + y1	x1+y1	x2 + y1	x2 + y2
р	p1g1	p1 g2	p2g1	p2 g2

Тоді закон розподілу випадкової величини Х + У буде мати вигляд X + Y

За означенням

М(X+Y) = (x₁+y₁)p₁g₁ + (x₁+y₂)p₁g₁ + (x₂+y₁ ) p₂g₁+ (x₂+y₂ )p₂g₂ = x₁p₁(g₁ +g₂)+

+ x₂ p₂ (g_l +g₂) + y₁ g₁(p₁ + p₂)+ y₂ g₂(p₁ + p₂) = (x₁p₁+x₂p₂) + (y₁g₁ + y₂ g₂ ) =

=М(Х)+ М(Y).

Наслідок. Математичне сподівання суми декількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків.

Наприклад, для трьох ДВВ справедлива рівність

M(X+Y+Z)= M(X+Y) + M(Z)= M(X)+ M(Y)+ M(Z). (9)

Приклад 3. Проведено три постріли з ймовірностями влучення в ціль p₁ = 0,4; р₂ = 0,3; р₁ = 0,6. Знайти математичне сподівання загальної кількості влучень.

Розв'язання. Кількість влучень при першому пострілі є випадковою величиною, яка може набувати двох значень: 1 (влучення) зймовірністю р = 0,4 і 0 (промах) з ймовірністю q = 1 - 0,4 = 0,6.

Тоді М(X) = 1 ∙ 0,4 + 0 ∙ 0,6 = 0,4. Аналогічно для другого і третього пострілів М (Y) = 1 ∙ 0,3 + 0 ∙ 0,7 = 0,3 і M(Z) = 0,6.

Загальна кількість влучень є випадковою величиною X + Y+ Z, тому згідно з (9)

M(X+Y+Z)= М(X) + М(Y) + M(Z) = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3.