Из того факта,что , ещё не следует,что функция f(х) имеет экстремум при х= .
Из графика видно, что в точке х=0 экстремума нет, касательная пересекает кривую. Таким образом, не для всякого критического значения аргумента функция f(х) имеет место экстремум этой функции. Поэтому наряду с необходимым условием дадим достаточные условия экстремума в точке.
Теорема2. Пусть функция f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может самой точки .Если при переходе аргумента слева на право через точку производная меняет знак с + на -, то функция в этой точке имеет максимум; если знак меняется с – на +, то функция имеет минимум.
Замечание. Если для дифференцируемой функции её производная , но при переходе через это значение производная сохраняет постоянный знак, то при функция экстремума не имеет.
Правило1. Исследования функции на экстремум.
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную функции .
|
|
3) Найти критические точки.
4) Установить знак производной вблизи критических точек и определить характер экстремума.
5) Вычислить значение функции в точках экстремума.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
1) .
2)
3)
- не существует при .
x | (-∞; ) | (; 1) | (1; +∞ | ||
yI | + | - | + | ||
y | ↑ | ↓ | ↑ |
4)
max min
1
Достаточные условия существования экстремума можно проверить и с помощью второй производной, если исследуемая функция дифференцируема не менее двух раз.
Теорема3. Если для дифференцируемой функции в некоторой точке её первая производная , а вторая производная существует и , то, если 1) , то - минимум функции ; 2) если , то - максимум функции .
Правило2. Исследование функции на экстремум.
1) Найти
2) Найти
3) Найти , при которых
4) Найти
5) Найти знак второй производной в критических точках.
Пример. Исследовать функцию на экстремум.
1)
2) ;
3) .
4)
5)