Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :
.
Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:
(7)
Отсюда, кстати, получаем:
, где (8)
Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка
, откуда , (9)
и т.д.
Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков (, , …) эта инвариантность места не имеет.
|
|
Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:
.
А вот
(10)
Действительно,
Упражнения
1. Найти дифференциалы первого и второго порядков следующих функций:
а) ; б) ; в) , где u – дифференцируемая функция некоторой независимой переменной.
Ответ:
а) ; .
б) ; .
в) ; .
2. С помощью приближенной формулы найти абсолютную и относительную погрешности вычисления объема куба со стороной x, если при измерении x допущена ошибка .
Ответ: ;
– абсолютная погрешность;
– относительная погрешность.