1) Интегралы вида ,где и − целые числа.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если − нечетное число, то применяется подстановка ;
если − нечетное число, то применяется подстановка .
б) Если и − четные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени:
, , .
в) Если и − либо оба четные, либо оба нечетные, причем хотя бы один из них отрицателен, то применяют подстановку .
2) Интегралы вида , где − рациональная функция.
С помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда , , , интегралы рассматриваемого вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций.
3) Интегралы вида , , .
Такие интегралы легко вычисляются, если применить следующие тригонометрические формулы:
, ,
.
Примеры 18. Вычислить интегралы:
1) .
Решение: Применим подстановку и воспользуемся формулой . Тогда
2) .
Решение: Воспользуемся подстановкой . Имеем
3) .
Решение: Подынтегральная функция нечетна относительно синуса, поэтому сделаем подстановку . Тогда
|
|
4) .
Решение: Используя формулы понижения степени, получим
5) .
Решение: В данном случае применим подстановку и формулу . Тогда
6) ,
Решение: Представим числитель по формуле и разделим почленно числитель на знаменатель, получим
.
Для нахождения первого интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой , имеем
Для нахождения второго интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Полагая , , имеем
, .
Следовательно,
Итак, находим искомый интеграл
7) ,
Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой . Имеем
.
8) .
Решение: Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму, получим