Переменных.
5.1. Частные производные функции двух переменных
Переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у на некотором множестве точек , если каждой паре значений из множества соответствует определенное значение величины z.
Пишут:
.
С геометрической точки зрения функция представляет собой поверхность.
Если при отношение частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции по независимой переменной х в точке и обозначается , или , или .
Таким образом, по определению
.
Аналогично,
.
Так как вычисляется при неизменном значении переменной у, а – при неизменном значении переменной х, определение частных производных можно сформулировать так: частной производной по х функции называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.
|
|
Пример 1
Найти частные производные функции .
Решение
Пример 2
Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
что и требовалось доказать.
5.2. Дифференциал функции двух переменных
Частным дифференциалом функции называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной:
выражение называется частным дифференциалом функции по переменной х;
выражение называется частным дифференциалом функции по переменной у.
Пример 1
Найти частные дифференциалы функции
Решение
, .
Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:
.
Пример 2
Найти дифференциал функции .
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим
.
Краткое содержание (программа) курса