Периодические мех процессы в организме. Свободные колебания: гармонические и затухающие

Вопрос 1.

В жим организме и при диагностики, и при лечение широко распр процессы с разл повторением состояний и опис их параметров. Они назыв колебаниями. К простейших колеб моделям относят тело, некот массы m₁, прикрепленное к пружине некот жесткости k и способ соверш колеб движения около положения равновесия в горизонтальном направление. Выведем систему из состояния равновесия.

_{→ → → → →}

F_упр=-ks, F_упр+N+mg=ma _→

В проекции на ось 1: F_упр=ma

a=d²S/dt, F_упр= -ks= m(d²S/dt)

ks+ m(d²S/dt)=0/:m

d²S/dt+k(s/m)=0, k/m=ω²₀

d²S/dt+ ω²₀=0 – линейное однородное диф ур-е 2 порядка.

Пост коэффициент ω²₀ зависит только от параметров колеб сист: m и k. Решением этого ур явл ф-ции смещения от времени.

S(t)=Acos(ω₀t+φ₀) – ур кинетики, где А и φ₀ – две производные пост, для опред кот необходимо знать нач условие: смещение S₀, скорость V₀ в нач момент времени t=0. Это значит, что движ системы массой m действ F_упр= -ks, то он совершает гарм колеб с пост амплитудой А и частота, кот ω₀ = √k/m. T=2π/ω₀=2π/√k/m опред параметры системы m и k.

S(t)=Acos(ω₀t+φ₀), где А – амплитуда колеб – наиб смещение от положения равновесия, Т – период – время одного полного колебания, ν – частота – число колебаний в ед времени.

[ν]=Гц=1/с=с^-1 (Герц), ω₀ -циклическая частота связ с периодом соотношением.

ω₀=2π/T, ν=1/T, ω₀=2πν, (ω₀t+φ₀) – фаза колебаний, φ₀ – нач фаза колебаний.

Гарм колебания удобно изобр с помощью векторных диаграмм. Метод сост в след: из нач оси Ох проведен вектор А.

_→

Если вектор а будем равномерно вращаться с угл с-тью ω₀ против часовой стрелки, то изм амплитуды в проекции на ось Ох будет [φ=ω₀t+φ₀] подчиняется ур S(t)=Acos(ω₀t+φ₀)

В таком представление амплитуда колеб – длина равномерно вращ вектора а. Фаза колеб – угол между вектором а и осью Ох. Нач фаза – нач знач угла. Круговая частота – угловая с-ть вращ смещения х колеблющийся точки – проекция а на ось Ох. Чтобы найти с-ть колебл точки возьмем произв S(t):

V=dS/dt= - Asin(ω₀t+φ₀)ω_0. Обозначим Аω₀ через V_мах: V= - V_махsin (ω₀t+φ₀). Чтобы найти ускорение а, производная по с-ти: а=dV/dt= -Aω²cos(ω₀t+φ₀), Aω²₀= a_max, a=a_maxcos(ω₀t+φ₀)

Кинетическая и потенциальная энергия колеб тела.

Е_кин=mV²/2= - mA²ω²₀sin(ω₀t+φ₀)/2=kA²sin²(ω₀t+φ₀)/2, E_n=ks²/2=kA²cos²(ω₀t+φ₀)/2, E_полн=E_к+Е_п= kA²sin²(ω₀t+φ₀)/2+ kA²cos²(ω₀t+φ₀)/2=kA²/2

При отсутствии внешних сил мех энергия системы не изменится: Е_полн=const, где k=mω²₀

Графически

Затухающие колебания.

Пусть на колеб систему кроме упр силы действ сила сопротивления среды. Рассм один частный случай, когда сила сопрот пропорц с-ти движения. F_сопр= -rV. Знак «-» указывает, что сила напр противопол с-ти. r – коэф сопротивления. Известно, что такие силы возн при движение или в вязкой среде с мал с-тями.

_{→ → → →}

F_упр+N+mg=ma Проекция на ось ОS: - F_упр-F_сокр=ma, -rV²-kS=m(d²S/dt²)/m, d²S/dt²+(rdS/mdt)+(k/m)S=0; k/m= ω²₀; r/m=2β

d²S/dt+2β(dS/dt)+ω²₀S=0 – диф уравнение 2 порядка для затух колебаний.

S=A₀e^-βtcos(ω₀t+φ₀), видно, что в рез-те совм действия силы упругости и силы сопротивления, видно, что колеб система сов движения, амплитуда ком изменяется по экспоненциальному закону: А=A₀e^-βt

Др словами, в системе возн затух колеб. Рисунок:

 

Частота затух колебаний зав не только они пар-ров системы k,m, но и от параметра r – коэф сопр: ω=√ω²₀-β². Ясно, что ω<ω₀=2π/T. То есть частота затух колебаний меньше частоты, кот бы имела система в отсутств сопротивления (т.е. частоты собств колебаний). Период затух колеб Т больше периода Т₀ своб колебаний Т>T₀. T=2π/ω=2π/√ ω²₀-β².

Если β мало, то Т≈Т₀. Если стрем к ω₀, то частота стрем к нулю, а период к ∞. Если ω²₀>β², то частота стан мнимой. Физ это означает, что при этом колебания не возникают, а вывед из пол равновесия равнов тело медленно непериод возвр в исх полож.

Большему знач β (большому r) соотв более быстрый спад амплитуды. Из привед графиков видно, что вел β хар-ет быстроту затухания амплитуды. По этой же причине β назыв коэф затухания. Смысл это вел-ны, как хар-ки затухания, можно уст из рассужд. Рассм отношение 2 амплитуд, разд во времени периодом: D=A_t/A_t+T, где D – декремент затухания. D= A₀e^-βt/A₀e^-β(t+Т)= A₀e^-βt/A₀e^-βtе^-βt=1/е^-βt= е^βt. Логарифмируя D получ выр-е имеет вид: λ – лог декремент затухания λ=lnA_t/A_t+T= βt. Тк β равняется r/2m, то эта величина константа β=const. Для данной системы выр-е показывает, что отн 2 амплитуд, разд временем (периодом), всегда одно и тоже. Быстроту затух колебаний часто хар-ют D, кот назыв величину равная натур логарифму 2-х последних амплитуд, разд временем (периодом). Логариф D=λ – логарифм отн 2-х послед амплитуд: λ= lnA_t/A_t+T. Т. е. лог декр затух тем больше, чем больше коэф затухания. Поскольку β и t пост для дан системы, то и λ=const. Это означает, что отн 2-х амплитуд постоянно для этой системы и не зав от выбора времени t. Незатух и затух колебания наз свободными, если они возникают вслед нач смещения или нач с-ти и совершения при этом при отсутствии внешнего воз-я за счет однократного получ системой энергии.