Xаос і керування динамічними економічними системами

Протягом останніх десятиліть спостерігається підвищення інтересу до нелінійних динамічних моделей у всіх наукових областях (математика, хімія, фізика й т.д.). Відкриття того, що прості нелінійні моделі можуть демонструвати складну й хаотичну динаміку, підштовхнуло також деяких економістів до того, щоб зацікавитися цією областю. Фактично в літературі є багато прикладів нелінійних економічних моделей, які демонструють хаотичну динаміку. Однак у літературі немає стандартного визначення хаосу. Тому можна лише перелічити типові характерні риси цього явища.

Нелінійність. Якщо процес лінійний, він не може бути хаотичним.

Детермінізм. B основі явища хаосу лежать детерміновані, а не імовірнісні, правила, яким слідує кожний майбутній стан системи.

Чутливість до початкових умов. Мала зміна в початковому стані системи може привести до радикально відмінного поводження й іншого кінцевого стану. Ця властивість передбачає дві траєкторії, що починаються в двух різних, але близьких крапках, і з часом розбігаються экспоненціально. Ця критична залежність від початкових умов, і те, що експериментальні початкові умови ніколи не відомі повністю, роблять ці системи внутрішньо непередбаченими.

Стійка нерегулярність. Схований порядок, що включає велику або нескінченну кількість нестійких періодичних проявів, характеризує хаотичне явище. Цей схований порядок формує інфраструктуру системи: хаотичний (дивний) аттрактор. Динаміка в хаотичному аттракторі - ергодична. Передбачається, що протягом своєї еволюції система виявляється в невеликій околиці кожної крапки на кожній з нестійких періодичних траєкторій, що перебувають у межах хаотичного аттрактора. Довгостроковий прогноз, але не керування, неможливо через чутливість до початкових умов, які можуть бути відомі тільки з кінцевим ступенем точності.

Незважаючи на труднощі керування хаотичними системами, багато дослідників займаються пошуком методів і засобів керування ними. Керування нелінійними системами може в дійсності виявитися легше, ніж керування лінійними, оскільки можливо лише за допомогою невеликого поштовху викликати велику зміну в системі (за рахунок чутливості до початкових умов). Фактично, керовані хаотичні системи мають перевагу гнучкості: кожна з множин різних траєкторій може бути стабілізована невеликим керуванням, і можливо перемкнути систему з однієї періодичної траєкторії на іншу за допомогою дуже невеликої корекції її параметрів, без різкої зміни конфігурації системи або створення додаткових перешкод. Отже, це багатство можливого поводження (нескінченних нестійких траєкторій) у хаотичних системах може бути використане для розширення подань про динамічну систему таким чином, яка неможлива, якщо еволюція системи не є хаотичною. Це означає (якщо ми хочемо розглянути економічні додатки хаосу), що невеликі зміни в економічній політиці можуть мати більші наслідки для суспільного добробуту. Отже, і в економіці керування динамічною періодичною системою є важливим завданням завдяки природі, що змінюється в часі, економічних коефіцієнтів. B частковості, керування динамічними системами й переклад їх від хаотичного й непередбаченого до періодичного й передбачуваного поводження є інтенсивною областю дослідження протягом останніх років.

Розглянемо засоби виявлення й стабілізації нестійких періодичних траєкторій (НПТ).

Траєкторії, які граничать із нестійкою періодичною траєкторією, розходяться від неї і є нестійкими. Через нестійкість динамічної системи їх нелегко виявити. Хоча періодичні орбіти відкривають підхід до розуміння хаотичної динаміки, довелося прикласти багато зусиль, щоб розробити методи виявлення цих траєкторій, незважаючи на їхню нестабільність як у тимчасових рядах, так і в досліджуваних системах, і відрізнити їх від стохастичного поводження.

Аналіз повторень.

B економіці є численні роботи - як теоретичні, так і емпіричні - щодо виявлення складного й/або хаотичного поводження. Беручи до уваги, що стандартні методи, наприклад спектральний аналіз або функції автокореляції, не можуть розрізнити, чи був сгенерований часовий ряд детермінованим або стохастичним механізмом, цих складних засобів виявляється недостатньо, щоб забезпечувати надійні результати. Фактично, тест виміру кореляції, метричний підхід, розроблений Grassberqer і Procaccia, широко використається в природничих науках, і звичайно разом зі зв'язаними процедурами, наприклад обчисленням показника Ляпунова, але його додаток до економічних даних було проблематичним. Реалізація цих алгоритмів зв'язана зі специфічними вимогами як, наприклад, розширена множина даних, які не завжди доступні в експерименті, стаціонарність досліджуваних даних, тоді як багато тимчасових рядів нелінійні або не поводяться як гауссові.

Таким чином, додатки метричного підходу до порівняно невеликих зашумленних даних, які типові в економіці, досить сумнівні. Щоб уникнути цих труднощів метричного підходу, був розроблений новий метод для виявлення детермінованого хаосу, названого топологічним (MindUn et al., 1990, 1991;-Tuffllaroeta.).

Топологічний метод має кілька важливих переваг перед метричним методом:

1. Може застосовуватися до порівняно невеликого набору даних, які, наприклад, типові в економіці й фінансах.

2. Стійкий до шуму.

3. Так як топологічний аналіз підтримує тимчасове впорядкування даних, він здатний забезпечити додаткову інформацію про основну систему, що генерує хаотичне поводження.

4. Можлива реконструкція дивного аттрактора.

Крім того, виявлення інваріантів топологічним методом дозволяє визначати моделі, що пояснюють дані, а послідовна топологічна класифікація хаотичних множин є перспективним кроком у розробці моделей, що пророкують поводження нелінійних систем.

Аналіз повторень являє приклад топологічного методу й може представити корисну методологію виявлення нестаціонарного хаотичного поводження й біфукації в тимчасових рядах.

Спочатку цей метод використовувався для виявлення повернень (циклів) і нестаціонарності тимчасових рядів, потім аналіз повторень був застосований до дослідження хаотичних систем, оскільки повернення в поводженні - одна з найбільш важливих характеристик хаотичних систем.

За допомогою графіка повторень (ГП) можливо виявити кореляцію в даних, що неможливо виявити у вихідному тимчасовому ряді. Цей метод не вимагає яких-небудь припущень про стаціонарність тимчасового ряду, припущень про основні рівняння руху й розподіленого поводження. Він досить нечутливий до шуму, а графік повторень для динамічної системи зберігає інваріанти її динаміки. Він виявляється особливо корисним для випадків, у яких обмежена доступність даних і може бути порівняна за ефективністю із класичними методами аналізу хаотичних даних, особливо через свою здатність виявляти біфукацію. Аналіз повторень особливо придатний для дослідження економічних тимчасових рядів, для яких характерні шуми, недолік даних, і які представляють результати діяльності багатомірних систем.

Графік повторень — це двовимірне подання траєкторії. Він формується двовимірною М×М матрицею, де М — кількість входжень векторів Y(i), отриманих при затримці вхідного сигналу. B матриці величина елемента з координатами (i,j) — це евклідова відстань між векторами Y(i) і Y(j). B цій матриці горизонтальна вісь представляє індекс часу Y(i), а вертикальна — зрушення за часом Y(j). B елементі масиву (i,j) крапка проставляється, якщо Y(i) досить близько до Y(j); близькість між Y(i) і Y(j) виражається співвідношенням

де d — задане число.

Є два типи графіків повторень: граничний (також відомий як матриця повторення) і безпороговий. Граничні графіки ГП симетричні щодо основної діагоналі. Крапки в цьому масиві розфарбовані відповідно до відстані між векторами. Звичайно темні кольори показують більші відстані, а світлі - короткі. Якщо текстура в межах такого блоку гомогенна, можна прийняти гіпотезу про стаціонарність даного сигналу протягом відповідного періоду часу; нестаціонарні системи викликають зміни в розподілі крапок повторення на графіку, які відбиваються більш світлими областями.

Аналіз повторень використовується також для виявлення нестійких періодичних траєкторій у хаотичних тимчасових рядах. Bradley і Mantilla (2001) наводять приклад додатка ГП для послідовного аналізу хаотичного тимчасового ряду. Повторювані образи формують блоки в графіку. Ці блоки відбивають інтервали часу, коли траєкторія рухається уздовж або біля відповідного НПТ.

Метод графіка повторень не придбав значної популярності, оскільки його графічний результат нелегко інтерпретувати. Zbilut J. P запропонував метод статистичної квантифікації ГП - квантфикаційний аналіз повторень (КАЛ). Він визначає міру діагональних сегментів у графіках повторення. Ці міри є показниками повторення, детермінізму, середньої довжини діагональних структур, ентропії й напрямку.

Для того щоб виявити НПТ, ми повинні створити графік повторень для траєкторії хаотичного аттрактора, проаналізувати структуру повторень, використати також квантифікацію ГП і інформацію, витягнуту з повторень, щоб індексувати траєкторію й знайти відповідні значення змінних станів.

Крім того, ГП являє собою корисний спосіб порівняння двох хаотичних систем. Наприклад, якщо ГП для двох траєкторій мають різну побудову блоків, вони не можуть відповідати одній і тій же системі, навпроти, ідентична блокова структура ГП визначає ідентичну динаміку. Аналіз повторень є корисним засобом для визначення нестійких періодичних траєкторій у хаотичних тимчасових рядах даних і біфуркаційного поводження, а також для встановлення виду динаміки системи.

Розглянемо основи теорії Флоке (Floquet).

Для виявлення нестійкого й хаотичного поводження систем, для яких відома нелінійна динамічна модель, використається теорія Флоке, що розширює теорію стійкості Ляпунова.

Керування системою, періодичною в часі, є складним завданням через мінливу в часі природу коефіцієнтів. Основна проблема полягає в тому, що власні значення, що змінюються в часі, періодичної матриці не визначають стійкість системи, і стандартні методи теорії керування не можуть застосовуватися безпосередньо.

Отже, один з можливих методів рішення таких проблем складається в створенні еквівалентних, інваріантних у часі систем, придатних для застосування стандартних методів. Система, інваріантного часу, може бути отримана при використанні перетворення Ляпунова - Флоке (L-F). Теорія Флоке відома зараз як теорія Флоке - Ляпунова, що перетворює лінійну частину періодичного квазилінійного рівняння в інваріантну в часі форму, що зберігає вихідні динамічні характеристики системи.

Стійкість системи визначається власними векторами матриці переходу, тому якщо речовинна частина всіх множників Флоке негативна, рішення стійке, тоді як позитивні показники вказують на нестабільність.

Пропоновані методи повинні забезпечити корисний інструментарій для спрощення лінійних і нелінійних періодичних систем. Так як методи аналізу й керування для змінюючихся в часі систем, розроблені досить добре, тепер стане можливим використати ці методи й для періодичних у часі систем.

Цей метод широко використається для оцінки стійкості систем малої розмірності з періодичними коефіцієнтами. Для систем, які характеризуються більшим числом ступенів волі, пропонується новий метод, що включає аналіз Флоке для оцінки домінуючих власних значень матриці переходу, використовуючи алгоритм Арнольді (Arnoldi), без явного обчислення цієї матриці. Цей метод значно більш ефективний в обчислювальному відношенні, ніж класичний і ідеально підходить для систем з більшим числом ступенів волі.

Теорія Флоке може бути використана для аналізу біфуркації поводження, що забезпечує засіб вивчення динамічних механізмів, які можуть змінити структурну стійкість системи, коли деякий параметр повільно змінюється згодом.

Розглянемо систему лінійних, однорідних диференціальних рівнянь із періодичними коефіцієнтами:

, (5.9)

де G(t) — дійсна m× m матрична функція, t ∈ R;

x — вектор-стовпець розмірності m;

G(t) - періодична функція з мінімальним періодом Т.

Розглянемо довільну множину m рішень системи (1) лінійно незалежних для будь-якого t R:

Матриця X(t), складена зі стовпців x1(t),x2(t),…,xm(t), називається фундаментальною матрицею.

Якщо X=E, де E — одинична mm матриця, то X(t) називається головною фундаментальною матрицею.

Матриця

(5.10)

називається матрицею переходу Флоке, або монодромною матрицею.

Власні значення матриці F називаються характеристичними множниками системи (5.9), або мультиплікаторами системи.

Властивості мультиплікаторів системи ґрунтуються на наступній теоремі:

Число 1 є мультиплікатором системи (5.9) у тому і тільки у тому випадку, якщо існує таке рішення x(t), не дорівнює тотожно нулю на всій дійсній осі, що

(5.11)

З теореми, зокрема, слідує, що

1) система (1) має періодичне рішення в тому і тільки в тому випадку, якщо 1 є її мультиплікатором;

2) всі рішення системи є періодичними, якщо матриця переходу Флоке дорівнює одиничній: Ф(Т) = E.

Типи біфуркації визначені залежно від способу, яким мультиплікатори Флоке залишають одиничне коло. Принципово різними є три випадки:

а) якщо мультиплікатор Флоке залишає одиничне коло через +1, ми одержуємо транскритичну, симетрично розривну біфуркацію або циклічну складку;

б) якщо мультиплікатор Флоке проходить через -1, відбувається подвоєння періоду біфуркації (перекинена біфуркація);

в) якщо комплексно сполучені мультиплікатори Флоке залишають одиничне коло уздовж уявної осі, то має місце вторинна біфуркація Хопфа (Hopf).

Обчислення матриці переходу Флоке зіставляє всі стани системи в цей момент із тими ж станами на один період пізніше. Розмір цієї матриці переходу дорівнює загальному числу станів системи.

Аналіз характеристичних множників дозволяє визначити стійкість рішень системи (5.9). Найближчі до уявної осі з будь-якої сторони власні значення відіграють важливу роль і називаються провідними власними значеннями. Фактично, якщо всі характеристичні множники розташовані в одиничному колі на комплексній площині, то всі рішення прагнуть до нуля. Якщо який-небудь із характеристичних множників перебуває за межами одиничного кола, то існує необмежене рішення. Якщо всі множники перебувають усередині або на одиничному колі, то умови стійкості визначаються розходженням між алгебраїчною й геометричною кратністю множників, розташованих на одиничному колі. Алгебраїчна кратність власного значення - це його кратність як рішення характеристичного рівняння, а геометрична кратність - це розмірність підпростору, обумовленого лінійно незалежними власними векторами, що відповідають даному власному значенню. Геометрична кратність власного значення завжди не більше його алгебраїчної кратності.

Теорія Флоке активно використається для дослідження моделей економічної динаміки, зокрема, моделі Хикса й ін.

Розглянемо тепер можливості об'єднання описаних вище двох інструментів в області аналізу тимчасових рядів.

Основна ідея такого об'єднання була висловлена Auerbach et al. Ціль полягала в тому, щоб:

а) витягати всі періодичні траєкторії в експериментальному хаотичному тимчасовому ряді й обчислити їхню стійкість за допомогою показника Ляпунова;

б) ця інформація може бути використана для того, щоб описати важливі властивості загальних хаотичних множин. Передбачалося, що тимчасові ряди досить великі, щоб можна було виділити нестійкі періодичні орбіти з множини хаотичних спостережень порядку n, залежно від обсягу доступних даних. Після локалізації періодичних орбіт методами, схожими на графік повторень, для обчислення власних значень і власних векторів для кожної крапки періодичного циклу використовувалася матриця Якобі.

Об’єднання аналізу повторень і теорії Флоке дозволяє перебороти деякий недолік цього методу.

Фактично, для даного тимчасового ряду ми могли б використати аналіз повторень, щоб виявити хаотичне поводження, зокрема, локалізувати нестійкі орбіти й біфуркацію. Як сказано вище, виявлення періодичних орбіт в експериментальних даних - центральний момент в області керування хаосом. Крім того, нестійкі періодичні орбіти, що входять до складу хаотичного аттрактора, є основними для розуміння хаотичної динаміки. Нестійкість, характерна для цих траєкторій, ускладнює їхнє виявлення. Інструментальні засоби розпізнавання НПТ у тимчасових рядах до тепер не розроблені.

Використовуючи графік повторень, ми можемо виділити періодичні траєкторії з даного тимчасового ряду, і тепер необхідно обчислити їхню стійкість. Це важливий момент, оскільки властивості стійкості НПТ визначають, яким чином траєкторії переміщаються уздовж і біля аттрактора. Питання стійкості може бути вирішений з використанням теорії Флоке. Обчислюючи власні значення й власні вектори матриці, ми можемо визначити стійкість періодичної орбіти.

Однією із цікавих проблем є керування хаосом.

Термін «керування хаосом» був уведений E. Ott, С. Grebogi і J. Yorke в опублікованій ними в журналі Physical Review Letters (1990 р.) статті «Керування хаосом». Ключовим елементом цієї статті була демонстрація того, що значимої зміни в поводженні хаотичної системи можна досягти за допомогою невеликої, дрібної корекції параметрів системи й, зокрема, ця корекція може бути зроблена без впливу на властивості системи. Після виходу цієї статті керування хаотичними системами привернуло підвищену увагу дослідників з інших областей.

B цілому методи керування хаосом можуть бути розділені на два основних класи:

1) замкнутий цикл, або методи зворотного зв'язку;

2) відкритий цикл, або методи без зворотного зв'язку, де дія залежать від інформації про стан. Ідея цього методу в тому, щоб змінювати поводження нелінійних систем, додаючи правильно обрану вхідну функцію.

Далі можна розділити методи на дискретні й безперервні в часі, а також методи, у яких впливи додаються до параметрів і до динамічних змінних відповідно.

Розглянемо методи замкнутого циклу (зі зворотним зв'язком).

Цей клас включає ті методи, які вибирають вплив, заснований на знанні про стан системи, і орієнтовані на керування заданою динамікою. Серед них ми можемо розглянути так названий випадково пропорційний зворотний зв'язок (OGY) і метод, запропонований Pyragas, у якому застосовується затриманий зворотний зв'язок з однієї зі змінні системи. Всі ці методи є модельно незалежними в тому розумінні, що знання про систему, необхідне для вибору впливу, може бути отримане за допомогою простого спостереження за системою протягом деякого прийнятного часу навчання.

Метод OGY ґрунтується на визначенні періодичної траєкторії й застосуванні невеликих впливів до параметрів системи, щоб стабілізувати нестійкі стани або нестійкі періодичні траєкторії. Хоча ці впливи додаються тільки тоді, коли система близька до бажаної періодичної траєкторії й доступний єдиний часовий ряд, використання його для стабілізації загальної стійкої періодичної траєкторії (НПТ) вимагає наявності точної інформації про цільову траєкторію. Отже, цей метод неадекватний для нестаціонарних систем або завдань вибору мети. Цей метод вимагає, крім того, спочатку більших змін параметрів і обмежений при стабілізації нестійких періодичних фіксованих крапок сідла. Хоча метод OGY добре зрозумілий з теоретичної точки зору, експериментальна реалізація його серйозно обмежується тим, що всі величини, необхідні для обчислення значень параметрів керування системою, безпосередньо не задаються в експериментальній послідовності даних, і щоб виконувати керування, необхідно застосувати складний аналіз даних.

B протилежність методу OGY метод керування хаосом, запропонований Pyragas, може легко бути застосований до експериментальних систем, де рівняння руху невідомі. Основна ідея методу Pyragas складається в простому використанні затриманого стану як елемента зворотного зв'язку. Перевага цього методу в тому, що він не вимагає повної інформації про цільовий НПТ; але в ньому використовується постійна затримка часу в блоці зворотного зв'язку.

Розглянемо методи відкритого циклу (без зворотного зв'язку).

Цей клас включає ті стратегії, у яких розглядаються ефекти зовнішніх впливів (незалежно від знань про фактичний динамічний стан) на еволюцію системи. Періодичні або стохастичні впливи розглядаються як причина корінних змін у динаміці хаотичної системи, що призводять, в остаточному підсумку, до стабілізації деякого періодичного поводження. Ці підходи, проте, у загальному випадку обмежені тим, що їхня дія не є цілеспрямованою, тобто кінцевий періодичний стан не може бути визначений керуючою системою. Критичні моменти для всіх таких методів керування хаосом наступні:

а) припущення про те, що хаос істотно залежний від малих змін у поточному стані й, отже, стан системи непередбачений в довгому періоді, також передбачає, що поводження системи може бути змінено використанням невеликих збурювань;

б) хаотична множина, у якій перебуває траєкторія хаотичного процесу, може містити в собі багато нестійких періодичних траєкторій, так що, на відміну від лінійної системи, у якій заданий параметр припускає тільки один тип руху у нелінійній системі одночасно можливо багато різних напрямків еволюції;

в) через ергодичність траєкторія відвідує околицю кожної з періодичних траєкторій (орбіт), що формують аттрактор.

Керування хаотичними системами має на увазі стабілізацію нестійких періодичних траєкторій. Основна ідея складається чекаючи природного підходу хаотичної траєкторії до бажаного періодичного поводження, і коли траєкторія наближається до цієї бажаної періодичної траєкторії, вставленої в аттрактор, необхідно зробити невеликі впливи для стабілізації такої орбіти. Цей підхід використає ідею про те, що критична чутливість хаотичної системи до зміни у своїх початкових умовах може бути, фактично, дуже бажаною в практичних експериментальних ситуаціях.

Представимо різні економічні додатки теорії хаосу.

Історично економісти використовували лінійні рівняння, щоб моделювати економічні явища, оскільки з ними досить легко працювати й вони звичайно дають єдине рішення. У міру того, як математичні й статистичні інструментальні засоби, використовувані економістами, ставали більш складними, стало неможливо ігнорувати той факт, що багато важливих і цікавих явищ не піддаються такій лінійній обробці. Отже, керування, принаймні, деякими економічними процесами стає однієї з найбільш важливих і значних завдань, що зустрічаються економістам. Важливі явища, для яких лінійні моделі не підходять, включають депресії й періоди підйому, спалаху цін на фондовій біржі й відповідні крахи, стійкі зсуви валютного курсу, регулярні й нерегулярні ділові цикли. Отже, фахівці в економічній теорії звертаються до дослідження нелінійної динаміки й, по можливості, інструментів теорії хаосу, щоб моделювати ці й інші явища.

Фактично недавно з'явилися деякі додатки хаосу в методах керування економічними системами, що розглядають розпізнавання й керування циклічними явищами й оцінку складної динаміки як засобу, наприклад, виявлення ділового циклу, сезонних змін у метеорології й варіації популяцій в екології. Приклади додатків: Holyst et al. розробили прикладний метод Ott Greboqi-Yorke для моделювання поводження двох конкуруючих фірм; Kopel показав, використовуючи просту модель ринкової динаміки, що розвивається, як хаотичне поводження може управлятися невеликою зміною параметра, що доступний ЛПР, і як фірми можуть поліпшити своє функціонування, використовуючи метод цільового керування. Xu et al. розробив метод виявлення траєкторій типу НПТ у хаотичному тимчасовому ряді моделі ділового циклу Kaldor. Kaas довів, що в межах макроекономічної нерівновагої моделі, стійкі й прості адаптивні політики не здатні стабілізувати ефективні стійкі стани й приводять до періодичних або нерегулярних коливань для більших множин параметрів керування. Додаток методів керування до хаотичних динамічних систем показує, що уряд може, у принципі, стабілізувати хитку рівновагу Вальраса протягом короткого часу, змінюючи податкові показники або державні витрати.

Лінійні моделі виявляються в корені невірними, вводячи в оману, перекошуючи розуміння економіки, а іноді спотворюючи наступні ради політекономістів. B цьому контексті хаос являє собою радикальну зміну перспективи розвитку економічної науки, оскільки не тільки здатний пояснювати нерегулярне динамічне поводження, що характеризує економічні явища, але також забезпечує корисний засіб для стабілізації нелінійних динамічних систем. Дійсно, багато нелінійних динамічних систем, навіть якщо вони показують дуже нерегулярне поводження, фактично піддаються стабілізації, чим істотно відрізняються від системи з нерегулярністю, що залежить винятково від стохастичних збурювань. Хаотичні системи показують безперервну залежність від параметрів, а керування ними полягає в невеликих змінах у цих параметрах, які ведуть до змін у динамічних властивостях моделі. Деякі із цих параметрів представляють правила економічної теорії, як, наприклад, ставка оподатковування, темп фінансового росту (приріст) або державні витрати, і встановлюються фахівцями в цій області. Отже, уряд має значний вплив на динамічні результати.

Використовуючи такі фундаментальні характеристики хаотичних систем, як чутливість до початкових умов і наявність нестійких траєкторій, уряд може домогтися результатів лише невеликим втручанням. Отже, фахівці в політиці, які хочуть домогтися найкращого результату в рості зайнятості, рості добробуту, не можуть використати економічні моделі, засновані на лінійності й припущенні простоти традиційних економічних моделей. Втручання політики, навпроти, повинне бути засноване на міркуваннях про те, що економіка є складною системою. Звичайно, це передбачає використання типових інструментальних засобів дослідження складних систем.

З цієї точки зору аналіз повторень і теорія Флоке являють собою корисні інструменти аналізу й керування складною системою. Крім того, в аналізі тимчасових рядів запропонована методологія, комбіноване використання цих інструментальних засобів дозволяє переборювати труднощі прикладного використання традиційних інструментів, а також деяких більш відомих складних способів, як, наприклад, показник Ляпунова. Фактично, наприклад, аналіз повторень виявляється особливо корисним для випадків, у яких обмежений доступ до даних, для виявлення нестійких періодичних траєкторій, оскільки він зберігає незмінність динаміки. Теорія Флоке забезпечує засіб вивчення динамічних механізмів, які можуть змінити структурну стійкість системи, коли деякий параметр повільно змінюється згодом. Тоді як інші методи можуть бути використані для тих систем, де періодичні коефіцієнти можуть бути виражені залежно від невеликого параметра, техніка перетворення Ляпунова - Флоке не має такого обмеження, і, отже, вона може бути застосована й до загальної періодичної системи.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1) Що мається на увазі під біфуркацією?

2) Чим пояснюється наявність біфуркації в поводженні системи?

3) Які системи вивчаються в теорії катастроф?

4) Які явища в поводженні системи можуть вказувати на наявність катастрофи?

5) Яким чином може бути представлена потенційна функція системи при наявності катастрофи?

6) Що являє собою функція катастрофи?

7) Які типи катастроф існують у двовимірному випадку?

8) B чому проявляється катастрофа типу складка? збірка?

9) B чому відмінність хаотичного поводження від випадкового?

10) Що є джерелом хаотичного поводження системи?

11) Які методи застосовуються для виявлення хаотичного поводження?