Представимо ще один приклад стохастичної моделі економічної динаміки. Часто в економічних прикладах уважають, що коефіцієнти моделі не змінюються в часі. Однак таке припущення істотно обмежує область застосування моделі й може не відповідати реально спостережуваній ситуації. Ha прикладі досить простої моделі Самуельсона-Хікса покажемо, як істотно змінюється характер поводження моделі при використанні простої періодичної залежності коефіцієнтів моделі від часу. Періодичність коефіцієнтів досить часто зустрічається в економічних моделях, вона зв'язана як із сезонними коливаннями величин (наприклад, попиту на окремі товари), так і з наявністю циклів у розвитку окремих галузей і економіки в цілому.
Розглянемо рівняння моделі Самуельсона-Хікса:
(9.43)
(9.44)
(9.45)
де Y(t) – національний доход у момент часу t;
C(t) – споживання;
І (t) – інвестування;
G(t) – державні витрати;
0 < γ < 1 – гранична схильність до споживання;
α – акселератор;
C – автономне споживання;
|
|
І – автономне інвестування.
Після підстановки модель (9.43) – (9.45) приймає вид:
(9.46)
Припустимо, що параметри в рівняннях (9.43), (9.44) насправді залежать від часу, тобто
і являються g – періодичним.
В такому випадку модель приймає вид:
(9.47)
Розглянемо результати застосування теорії Флоке до моделі (9.47). Головну роль в аналізі цієї моделі грають мультиплікатори Флоке для однорідного рівняння, що відповідає (9.47);
(9.48)
Ці мультиплікатори є власними числами матриці монодромії:
(9.49)
тобто коренями квадратного рівняння:
(9.50)
Позначимо – одиничне коло на комплексній плоскості.
Мультиплікатори Флоке для моделі (9.47) більш складніші ніж для моделі з постійними коефіцієнтами (9.46).
Нехай
Можливі настурні три випадки:
а) – один мультиплікатор Флоке лежить усередині Т, а другий – зовні;
б) обидва значення лежать у середині Т;
в) обидва значення лежать зовні Т;
При малих значеннях акселераторів обидва значення лежать усередині Т.
Розглянемо тепер асимптотичне поводження рішень.
I. Будь-яке рішення моделі (9.48) для HD являється обмеженим, якщо всі мультиплікатори Флоке для неї лежать на або усередині одиничного кола;
II. Будь-яке ненульове рішення моделі (9.48) є необмеженим, якщо всі мультиплікатори лежать поза одиничним колом;
III. Будь-яке рішення моделі (9.48) прагне до нуля, якщо всі мультиплікатори лежать усередині Т.
IV. Будь-яке рішення моделі (9.47) є обмеженим (прагне до Н), тоді й тільки тоді, коли існує обмежене рішення (9.47) і будь-яке рішення моделі (9.48) обмежено (прагне до нуля).
Існування обмеженого (збіжного) рішення залежить від автономного споживання, інвестування й державних витрат. Необхідною умовою є обмеженість державних витрат.
|
|
V. B моделі (9.47) існує постійне рішення виду
Таким чином, вибираючи підходящу g -періодичну функцію державних витрат можна домогтися будь-якого постійного рішення для HD.
VI. Для того щоб модель (9.47) мала r -періодичне рішення, необхідно й досить, щоб функція державних витрат мала період, рівний найменшому загальному кратному r і g.
КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
1) Обґрунтуйте сутність стохастичних моделей економічної динаміки?
2) Наведіть приклади швидких процесів в економіці.
3) Закон збереження ресурсу й грошова форма збереження ресурсу.
4) Охарактеризуйте модель оцінки валютних потоків.
5) Якою формальною моделлю можна представити грошові й товарні потоки?
6) B чому суть моделі валютної паніки?
7) Приведіть приклади, що описують розвиток валютної паніки?
8) Проведіть аналіз моделі Самуельсона-Хікса.
9) Вплив часу на параметри моделі Самуельсона-Хікса.