2018-01-08
371
а) Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.
При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ря
(a>0),
который сходится при 
и расходится при 
, и гармонический ряд
являющийся расходящимся.
При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд
1+ 
.
Если р=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.
Если р<1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При р>1 имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при р>1 и расходится при р≤1.
б) Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами
выполняется условие 
, то ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.
Признак Даламбера не дает ответа, если l =1. В этом случае исследования ряда применяются другие приемы.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости:
Решение. Имеем
Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
Решение. Подставив в общий член ряда 
вместоn число n+1, получим 
. Найдем предел отношения (n+1) – го члена к n –му члену при n→∞:
Следовательно, данный ряд сходится.
