Максимумы и минимумы функции

Определение 3: Окрестностью точки х₀ называется промежуток, содержащий эту точку.

Определение 4: Функция f (х) имеет в точке х = с максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью, что для всех значений х в этой окрестности выполняется неравенство f (х)< f (х) (или f (х)> f (с))

ТП 1: Если функция f (х), непрерывная на отрезке [а; в], имеет на концах отрезка значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдется хотя бы одно значение аргумента х = х₁, при котором функция обращается в нуль (f (х₁)=0)

Правило для нахождения значений х внутри промежутка (а; в), при которых функция f (х) имеет экстремумы:

1. Вычислить производную f ^‘ (х)

2. Найти те значения х внутри промежутка (а, в), при которых f ^‘ (х) обращается в нуль. Пусть это будут значения х₁, х₂, х₃…х_к

3. Определить знак производной в каждом из промежутков (а, х₁), (х₁, х₂), …(х_К, в). Тем самым будет решен вопрос и о том, изменяет ли производная знак при переходе через каждую из точек х₁, х₂…х_к или не изменяет.

Если производная изменяет знак и «+» на «–», то это указывает на то, что в соответствующей точке функция имеет максимум.

Если производная изменяет знак с «–» на «+», то это указывает на то, что в соответствующей точке функция имеет минимум.

Если знак производной не меняется, то в соответствующей точке функция экстремума не имеет.

Производная второго порядка

Если вычислить производную от производной, то получим производную второго порядка, она обозначается символами у'' или f '' (х). Может случиться, что существует производная от второй производной. По отношению к данной функции у = f (х) это будет производная третьего порядка или третья производная (у''' = f ''' (х)) и т.д.

Механический смысл второй производной.

Ускорение прямолинейно движущей точки определяется как вторая производная пути S времени t.

Второе правило разыскания экстремумов функции.

Если в точке х = х₀ первая производная от данной функции равна нулю f ' (х₀)=0, и функция f(х) имеет в точке х₀ непрерывную и положительную вторую производную, т.е. f '' (х₀)>0, то в точке х = х₀ функция f (х) имеет минимум. Если f '' (х₀)<0, то в точке х = х₀ функция имеет максимум. Если f '' (х)=0, то правило неприменимо.