Лекция 4. Методы интегрирования. Интегрирование по частям

4.1. Вывод формулы

Пусть функции имеют непрерывные производные на промежутке X. Найдем:

а) дифференциал от произведения u∙v:

(1)

б) интеграл от обеих частей равенства (1):

Здесь: по свойству неопределенного интеграла № 3 (см. Лекцию 1) (2)

Тогда: формула интегрирования по частям

 

Таким образом, подынтегральное выражение f(x)dx представляется в виде произведения множителей u и dv, т.е. исходно

(В правой части постоянную C не пишут, т.к. при интегрировании она появится в du).

 

Алгоритм нахождения интеграла:

1) разбить исходный интеграл на u и dv;

2) найти du и v;

3) вычислить заданный интеграл по формуле.

 

4.2. Типовые задачи

Здесь главное увидеть, что принять за u и что за dv. При этом существуют типовые разбиения в различных видах интегралов.

 

А) В интегралах вида:

(P(x) – многочлен относительно x, a – некоторое число)

Полагают: u = P(x), все остальное – dv

 

Пример:

Б) В интегралах вида:

Полагают: P(x) dx = dv, все остальное – u

 

Пример:

Решение:

В) В интегралах вида: , где a и b некоторые числа, за u можно принять любую функцию:

 

Пример:

Здесь пришлось применить интегрирование по частям дважды.

Так приходится делать и в случае понижения степени (как правило, тригонометрических функций и многочленов).

Интегралы вида:

существуют, но не выражаются через элементарные функции.

 

4.3. Решение примеров