Лекция 2. Сложение и умножение вероятностей. Схема независимых испытаний

2.1. Сложение и умножение вероятностей

· Сложение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей 1.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

Примечание: при решении задач удобно распознавать сложение вероятностей событий по произношению связки «ИЛИ» между событиями: логическая операция «сложение» (дизъюнкция) »ИЛИ».

Теорема о сложении вероятностей 2.

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле , где P(AB) –вероятность произведения.

· Умножение вероятностей

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей.

Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Примечание. При решении задач удобно распознавать умножение вероятностей событий по произношению связки «И» между событиями: логическая операция «умножение» (конъюнкция) »И».

2.2. Практическая работа №11 «Решение задач на вычисление вероятности случайных событий»

1) Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 200 выигрышных. Найти вероятность того, что из двух приобретенных лотерейных билетов выиграет хотя бы один.

2) Решение: вероятность выигрыша одного билета , благоприятные исходы: выиграет первый билет «или» выиграет второй билет, и не выиграют оба билета. Тогда искомая вероятность (вероятность совместных событий): ;

3) Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁=0,7; р₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.
Решение: как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. ;

4) В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбирают 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины? Решение: ;

5) Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков. Решение: обозначим через A, B и C события, что случайно выбранный сотрудник владеет английским, немецким или французским соответственно. При этом: . Тогда:

2.3. Схема независимых испытаний (схема Бернулли)

Практические задачи, связанные с оценкой вероятности наступления события в результате нескольких равноценных попыток могут анализироваться с применением формулы Бернулли или (при большом количестве таких попыток) с применением приближенной формулы Пуассона.

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события A одна и та же и равна p.

Испытания предполагают независимыми. Наступление события A называют успехом, а не наступление – неудачей. Обозначаем вероятность неудачи: . Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Вероятность P_n(m) при заданном значении n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m₀, а затем уменьшается при изменении m от m₀ до n.
Поэтому m₀ называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число лежит в границах: . Если - целое число, то наивероятнейших чисел два - .
Важное замечание. Если , то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Пример 1. Игральная кость бросается 4 раза. Найти вероятность того, что шестерка выпала два раза.
Решение: Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то . Вероятность того, что в 4-х независимых испытаниях успех наступит ровно 2 раза, выражается формулой Бернулли:

Пример 2. Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20.
Решение: 1) при n =19 находим m₀: ;

2) при n =20 находим: , значит, только m₀=12 является наивероятнейшим числом наступлений успеха.

На практике в случае, когда n велико, а p мало (как правило, p < 0,1, npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона:
Пример 3. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год?
Решение: будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Событие А={отказ элемента за год}, . По формуле Пуассона: