Задача 1. Знайти суму ряду .
Розв'язання.
За означенням сума ряду дорівнює , де – -а частинна сума ряду. Знайдемо .
Розкладемо дріб на суму найпростіших дробів методом невизначених коефіцієнтів.
.
Звідси маємо
Таким чином, .
Тому
.
.
Задача 2. Знайти суму ряду .
Розв'язання.
Так, як і при розв'язанні попередньої задачі, розкладемо дріб на суму найпростіших дробів.
;
;
Звідси,
.
Таким чином,
.
.
Задача 3. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання.
Очевидно,
.
Дослідимо ряд на збіжність за ознакою Даламбера.
.
За ознакою Даламбера ряд збігається.
Оскільки , то за ознакою порівняння ряд також збігається.
Задача 4. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання.
Очевидно, при .
Дослідимо на збіжність ряд (*).
Порівняємо цей ряд з рядом (**), який збігається (як узагальнений гармонічний з показником степені більшим за одиницю). Скористаємося граничною формою ознаки порівняння.
.
Таким чином. Ряди (*) і (**) поводять себе, в сенсі збіжності, однаково. Тобто ряд (**), як і ряд (*), збігається. Ф тоді збігається і еквівалентний ряду (**) ряд .
|
|
Задача 5. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання.
Скористаємося ознакою Даламбера.
.
За ознакою Даламбера ряд збігається.
Задача 6. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання.
Скористаємося радикальною ознакою Коші. Ряд збігається, якщо , і розбігається, якщо .
У нас .
.
За радикальною ознакою Коші ряд збігається.
Задача 7. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання.
Очевидно, .
За інтегральною ознакою Коші, якщо в ряді , і функція додатна, монотонно спадає і неперервна при , то даний ряд і інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.
Дослідимо за інтегральною ознакою Коші на збіжність ряд . У нас . Функція при додатна, неперервна і монотонно спадає.
.
Оскільки інтеграл розбігається, то за інтегральною ознакою Коші розбігається і ряд , а так як , то за ознакою порівняння розбігається ряд .
Задача 8. Дослідити ряд на збіжність.
Розв'язання.
За ознакою Лейбніца знакопочередний ряд збігається, якщо
1)
2)
Застосуємо цю ознаку до даного в умові ряду.
1). .
Очевидно, , бо .
2). .
За ознакою Лейбніца ряд збігається.
Задача 9. Обчислити суму ряду з точністю .
Розв'язання.
Маємо знакопочередний ряд. З наслідку ознаки Лейбніца для знакопочередного ряду випливає, що суму ряду можна наближено замінити -ю частинною сумою. При цьому похибка не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів ряду.
Тому, з точністю до 0,01, маємо
.
Задача 10. Довести справедливість рівності .
Розв'язання.
|
|
Відомо, якщо ряд збігається, то . Дослідимо, чи збігається ряд .
Скористаємося ознакою Даламбера.
.
За ознакою Даламбера ряд збігається, а значить .