Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции. Формулировка и доказательство достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции

Опр.8.5.1. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (выше) любой касательной, проведённой на этом интервале.

Теор. (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если функция имеет на интервале вторую производную, и () для , то её график имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во. Пусть, для определённости, на . Пусть с - произвольная точка , докажем, что график функции лежит выше касательной, проведённой к нему в точке . Уравнение касательной: ( - текущая точка касательной).

По формуле Тейлора . Вычитая из этого равенства предыдущее, получим на , т.е. точка графика функции действительно лежит выше точки графика касательной. Аналогично рассматривается случай на .

35. Определение точек перегиба функции. Формулировки и доказательства необходимого и достаточного условий для перегиба функции.
Определение точки перегиба. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки .

Необходимое условие точки перегиба. Пусть - точка перегиба графика функции , и пусть в точке существует непрерывная в этой точке вторая производная . Тогда .

Док-во от противного. Предположим, что , для определённости . Тогда, в силу непрерывности в точке , в некоторой окрестности точки ; следовательно, в любой точке этой окрестности график функции располагается выше касательной, что противоречит предположению о том, что - точка перегиба.

Достаточное условие точки перегиба. Теорема. Пусть - критическая точка второго рода функции и пусть функция имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если в пределах этой окрестности имеет разные знаки по разные стороны от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

Док-во следует из определения точки перегиба: так как вторая производная функции имеет разные знаки по разные стороны от точки , график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки , т.е. это точка перегиба.