Точка перегиба графика функции

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x₀, что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀. (см. Рисунок 1а).

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x₀, что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀. (см. Рисунок 1б).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x₀ следует, что для любой точки x из интервала (x₀ - h, x₀ + h), не совпадающей с точкой x₀, имеет место неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной y - y₀ = f '(x₀)(x - x₀) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x₀ - h, x₀ + h), не совпадающей с x₀, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0),

то кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

В самом деле, пусть абсцисса x₁ точки A меньше абсциссы x₂ точки B (рис. 2). Проведем касательные t₁ и t₂ соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t₁ и t₂. Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tg j > tg a или f '(x₁) > f '(x₂).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b): f ''(x) £ 0.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tg a > tg j т.е. f '(x₂) > f '(x₁), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x) ³ 0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x) £ 0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x) ³ 0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y₀ = f '(x₀)(x - x₀) к кривой y = f (x) в точке x₀, где a < x₀ b, в виде y = y₀ + f '(x₀)(x - x₀). Очевидно, y₀ = f(x₀), а потому последнее уравнение можно записать в виде y = f(x₀) + f '(x₀)(x - x₀). (1)

Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

(2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим: (3)

Если f '' [ x₀ + Q (x - x₀) ]£ 0, где 0 < Q < 1, то имеем f(x) - y £ 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f '' [ x₀ + Q (x - x₀) ]³ 0, то имеем f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A [ x₀; f(x₀) ] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x₀) = 0 или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A [ x₀; f(x₀) ] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x₀ - h, x₀) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀, x₀ +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀) = 0.

На рис.5 изображен график функции . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x₀, то точка A [ x₀; f(x₀) ] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x₀ - h < x < x₀ и f ''(x) > 0 при x₀ < x < x₀ + h. Тогда в интервале (x₀ - h; x₀) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x₀; x₀ + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A [ x₀; f(x₀) ] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.