Матрица Qx. В верхней левой части находится координаты углов куска поверхности. В верх левой и нижн правой частях матрицы помещены тангенсы углового наклона касательных векторов в угловых точках для каждой из граничных параметрических кривых. В нижн правой части раположены часные производные по обоим параметрам в угловых точках.
Описание и построение составных поверхностей. Форма Эрмита.
Для поверхности:
x(s, t) = a11 s3 t3 + a12 s3 t2 + a13 s3 t + a14 s3 + a21 s2 t3 + a22 s2 t2 + a23 s2 t + a24 s2 +
+ a31 s t3 + a32 s t2 + a33 s t + a34 s + a41 t3 + a42 t2 + a43 t + a44
или: x(s, t) = S Cx TT, где S – вектор степеней s, T – вектор степеней t
S |
Р4(t) |
t |
Р1(t) |
t = 0 |
t = 0.2 |
t = 0.4 |
t = 0.6 |
t = 0.8 |
t = 1 |
P1x(t) = T Mh P4x(t) = T Mh R1x(t) = T Mh R4x(t) = T Mh
P1x(t) P4x(t) R1x(t) R4x(t) = T Mh
Протранспонируем данное выражение и учитывая, что: (А В С)Т = АТ ВТ СТ, получим:
Тогда: x(s, t) = S Mh Qx MTh TT
Qx определяется с помощью точек и углов наклона, где q11 - есть x(0, 0), т.к. является начальной точкой для Р1х(t), которая в свою очередь задает начальную точку для x(s,0); q12 – есть x(s, t), т.к. является конечной точкой для Р1х(t), которая в свою очередь задает начальную точку для x(s,t); q12 – есть т.к. является начальным касательным вектором для Р1х(t); q33 = , т.к. представляет собой начальный касательный вектор для R1х(t), который в свою очередь задает начальный тангенс угла наклона для x(s,0). Тогда:
|
|
В верхней левой части матрицы находится 4 координаты углов куска поверхности; в верхней правой и нижней левой частях помещены тангенсы углов наклона касательных векторов в угловых точках для каждой их граничных параметрических кривых; в нижней правой части расположены частные производные по обоим параметрам в угловых точках, которые являются кривизной.
Форма Эрмита для бикубических кусков поверхностей является одной из форм куска Кунса или поверхности Фергюссона. Для обеспечения непрерывности первой производной бикубического многочлена Эрмита при переходе от одного куска поверхности к другому необходимо, чтобы касательные вектора, пересекающие ребро, имели одно и то же направление; если общее ребро строится при фиксированном параметре s = const, то строки матриц кусков должны соответствовать друг другу.