Вероятность отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания. Правило «трех сигм»

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения отмат ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

Неравенство Чебышева (доказать).

Пусть имеется случ величина Х, заданная mx и D(x). Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат ожидания не меньше, чем на α, ограничено сверху величиной:

Д-во:

Возьмем произвольное положительное число α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего mx не меньше чем на α.

Вероятность , т.е. надо просуммировать вероятности значений, которые не лежат на AB.

Т.к. не все члены суммы не отрицательны, то D(x) можно уменьшить, взяв не все значения xi:

что и требовалось доказать.