Упражнения. Вероятностный смысл амплитуды вероятности

Вероятностный смысл амплитуды вероятности

Изменение амплитуд со временем

Амплитуда вероятности изменяется со временем. Изменение заключается в том, что стрелка вращается. Угловая скорость w вращения стрелки связана с энергией фотона E формулой Планка E=ћw. Таким образом, фаза амплитуды вероятности фотона увеличивается равномерно со скоростью w=E/ћ. Все стрелки в распределении, изображающем состояние движения фотона, вращаются с одной и той же угловой скоростью. Так что движение фотона - это бегущая волна поворота стрелок амплитуды вероятности. Волновое число k волны амплитуды вероятности связано с импульсом фотона p соотношение де Бройля p=ћk.

Если на стрелке амплитуды вероятности состояния, как на стороне, построить квадрат, то площадь квадрата даст вероятность оказаться в данном состоянии.

Если в данный момент времени в каждой точке некоторой области пространства существует стрелка амплитуды вероятности ненулевой длины, то приходится считать, что фотон в данное мгновение присутствует в каждой точке данной области. Это главное отличие квантового от классического описания состояния частиц. Несмотря на то, что фотон является частицей, в данный момент времени он находится сразу во всех точках некоторой области пространства.

Задача 1. Состояние любой физической системы описывается амплитудой вероятности. Фаза амплитуды вероятности пребывания любой системы в состоянии с энергией E изменяется со скоростью w=E/ћ. С какой скоростью изменяется фаза амплитуды вероятности застать атом водорода в основном состоянии?

Решение. Энергия основного состояния атома водорода равна –13,6 эВ =
= –2,176×10-18 Дж. Скорость изменения фазы амплитуды вероятности застать атом водорода в основном состоянии равна w=E/ћ » 2,1×1016 с^-1.

Задача 2. Атом водорода излучил фотон с энергией 10,2 эВ. На сколько повернется стрелка амплитуды вероятности родившегося фотона за время распространения волны амплитуды вероятности на расстояние 10 нм?

Решение. Энергия фотона равна E»1,63×10^-18 Дж. Скорость изменения фазы w=E/ћ»1,55×1016 с^-1, а так как на указанное расстояние волна распространится за время t=10^-8/3×10⁸=0,33×10^-16 с, фаза амплитуды вероятности изменится на wt=0,52. Данное изменение фазы как раз равно углу между стрелками, изображающими амплитуды вероятности. Таким образом, искомый угол равен, примерно, 30^о.

Задача 3. Состояние фотона, распространяющегося в направлении оси OX, описывается следующим распределением амплитуд вероятности: мгновенная фотография представляет собой последовательность повернутых относительно друг друга стрелок, причем на любых отрезках оси одинаковых длин происходит поворот на один и тот же угол.
а) Какую длину волны имеет распределение амплитуд вероятности фотона, если угол между направлениями стрелок в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 5 нм, равен p/12? К какой части шкалы электромагнитных волн относится данный фотон?
б) Чему равны импульс (в Эв/с) и энергия (в эВ) фотона в данном состоянии?

Задача 4. Квантовое описание частичного отражения света от прозрачной среды. На стеклянную пластинку падает фотон. Длина стрелки амплитуды вероятности непосредственно перед поверхностью пластинки равна единице. За пластинкой длина стрелки составляет .
а) Чему равна вероятность отражения фотона от поверхности стекла?
б) Опишите, что происходит с каждым отдельным фотоном.
в) Что будет наблюдаться, если за пластинкой установить устройство, детектирующее (регистрирующее) фотон?

Задача 5. Через щель, ширина которой меньше длины волны l, пропускают пучок фотонов. Фотоны попадают на экран, расположенный на расстоянии L от щели.
а) Полагая, что фаза амплитуды вероятности попасть на экран на плоскость симметрии установки равна нулю, найдите зависимость фазы амплитуды вероятности попадания на экран от расстояния до плоскости симметрии установки.
б) Рассмотрите ситуацию L>>x. Получите приближенное выражение фазы.

Решение. а) Предположение, что фаза амплитуды вероятности попасть на экран на плоскость симметрии установки равна нулю, означает, что требуется найти разность фаз амплитуды вероятности на плоскости симметрии и в точке x. Искомая разность фаз равна разности хода фотона по двум путям умноженной на волновое число: