2017-11-01
158Методические указания и задания
Раздел 1. Пределы
Рассмотрим пределы четырех типов:
Первый тип. 
, где 
, 
– многочлены с наивысшими степенями “ 
” и “ 
”, причем
,
где А – отношение коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе.
Пример
.
Наивысшая степень в числителе и знаменателе 
, при этом коэффициент при старшей степени в числителе равен 2, а в знаменателе – 
, поэтому предел равен отношению этих коэффициентов 
.
Второй тип. 
, т.е. 
и 
.
В этом случае в числителе и знаменателе необходимо выделить множитель вида 
и сократить, чтобы устранить неопределенность вида 
.
Примечание. Необходимо знать формулы:
Пример 1
.
Пример 2
Третий тип. Вычисление пределов этого типа основано на 1-ом замечательном пределе:
и понятии эквивалентных бесконечно малых величин, т.е. – под знаком предела можно одну бесконечно малую величину заменить эквивалентной.
Примеры эквивалентных бесконечно малых величин:
, 
, 
. 
,
так как 
.
Пример
.
Четвертый тип. при вычислении этого предела используется второй замечательный предел:
|
|
|
.
Для этого необходимо выполнить преобразование под знаком предела.
Пример 1
.
Пример 2
.
Теоретические вопросы к разделу 1
1. Определение первого замечательного предела.
2. Определение второго замечательного предела.
3. Определение эквивалентных бесконечно малых величин.
4. Применение эквивалентных бесконечно малых величин к вычислению пределов.
Задание к разделу 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.
7. 
8. 
9. 
10. 
11.
12.
13. 
14.
15.
16
17.
18.
19.
.20
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
