І.З. Функції багатьох змінних. Частина 2

 

Завдання № 1. Знайти похідну за напрямком вектора і градієнт в точці для функції.

1. 1. , , .

1. 2. , , .

1. 3. , , .

1. 4. , , .

1. 5. , , .

1. 6. , , .

1. 7. , , .

1. 8. , , .

1. 9. , , .

1. 10. , , .

1. 11. , , .

1. 12. , , .

1. 13. , , .

1. 14. , , .

1. 15. , , .

1. 16. , , .

1. 17. , , .

1. 18. , , .

1. 19. , , .

1. 20. , , .

1. 21. , , .

1. 22. , , .

1. 23. , , .

1. 24. , , .

1. 25. , , .

 

Завдання № 2. Розкласти за формулою Тейлора в околі точки функцію .

 

2. 1. , до .

2. 2. , до .

2. 3. , до .

2. 4. , до .

2. 5. , до .

2. 6. , до .

2. 7. , до .

2. 8. , до .

2. 9. , до .

2. 10. , до .

2. 11. , до .

2. 12. , до .

2. 13. , до .

2. 14. , до .

2. 15. , до .

2. 16. , до .

2. 17. , до .

2. 18. , до .

2. 19. , до .

2. 20. , до .

2. 21. , до .

2. 22. , до .

2. 23. , до .

2. 24. , до .

2. 25. , до .

 

Завдання № 3. Дослідити функцію на екстремум.

 

3. 1. .

3. 2. .

3. 3. .

3. 4. .

3. 5. .

3. 6. .

3. 7. .

3. 8. .

3. 9. .

3. 10. .

3. 11. .

3. 12. .

3. 13. .

3. 14. .

3. 15. , , .

3. 16. .

3. 17. .

3. 18. .

3. 19. .

3. 20. .

3. 21. , , .

3. 22. .

3. 23. .

3. 24. .

3. 25. .

 

Завдання № 4. Дослідити на умовний екстремум функцію на екстремум, відносно даного рівняння зв’язку.

 

4. 1. , .

4. 2. , .

4. 3. , .

4. 4. , .

4. 5. , .

4. 6. , .

4. 7. , .

4. 8. , .

4. 9. , .

4. 10. , .

4. 11. , .

4. 12. , .

4. 13. , .

4. 14. , .

4. 15. , , .

4. 16. , , .

4. 17. , .

4. 18. , .

4. 19. , , , .

4. 20. , .

4. 21. , .

4. 22. , .

4. 23. , , , .

4. 24. , .

4. 25. , .

 

Завдання № 5.

5. 1. Дане додатне число розкласти на додатних співмножників так, щоб сума обернених величин їх була найменшою.

5. 2. Дане додатне число розкласти на доданків так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

5. 3. Дане додатне число розкласти на додатних множників так, щоб сума заданих додатних степенів їх була найменшою.

5. 4. На площині є матеріальних точок , ,..., з масами, відповідно рівними , ,..., .

При якому положенні точки момент інерції системи відносно цієї точки буде найменшим?

5. 5. При яких розмірах відкрита прямокутна ванна даної місткості має найменшу поверхню7

5. 6. При яких розмірах відкрита циліндрична ванна з напівкруглим поперечним перерізом, поверхня якої дорівнює , має найбільшу місткість?

5. 7. На сфері знайти точку, сума квадратів відстаней якої від даних точок була б мінімальною.

5. 8. Тіло складається з прямого кругового циліндра, який завершується прямим круговим конусом. При заданій повній поверхні тіла, яка дорівнює , визначить його виміри так, щоб об’єм тіла був би найбільшим.

5. 9. Тіло, об’єм якого дорівнює , уявляє собою прямий прямокутний паралелепіпед, нижня і верхня основи якого завершуються однаковими правильними чотирикутними пірамідами. При якому куті нахилу бічних граней пірамід до їх основ повна поверхня тіла буде мінімальною?

5. 10. Знайти прямокутник даного периметра , який обертається навколо однієї із своїх сторін утворює тіло найбільшого об’єму.

5. 11. Знайти трикутник даного периметра , який обертається навколо однієї із своїх сторін утворює тіло найбільшого об’єму.

5. 12. В півкулю радіуса вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.

5. 13. В даний прямий круговий конус вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.

5. 14. В еліпсоїд

вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.

5. 15. В прямий круговий конус, твірна якого нахилена до площини основи під кутом , вписати прямокутний паралелепіпед з найбільшою повною поверхнею.

5. 16. В сегмент параболічного параболоїда , , вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.

5. 17. Знайти точку, для якої сума квадратів відстаней від прямих , , найменша.

5. 18. На площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої від площин та була б найменшою.

5. 19. Знайти найменшу площу трикутника, описаного навколо еліпса з півосями і так, щоб одна із сторін трикутника паралельна більшій осі еліпса.

5. 20. Знайти найбільший об’єм, який може мати прямокутний паралелепіпед, якщо

1) поверхня його дорівнює ;

2) сума довжин ребер дорівнює .

5. 21. Визначить найбільшу місткість циліндричного відра, поверхня якого (без кришки) дорівнює .

5. 22. Визначить найбільшу місткість конічної лійки, поверхня якої дорівнює .

5. 23. Визначить найбільшу місткість циліндричної ванни з напівкруглим поперечним перерізом, якщо поверхня ванни дорівнює .

5. 24. Знайти найбільший об’єм тіла, яке утворене обертанням трикутника з периметром навколо однієї із його сторін.

5. 25. Тіло уявляє собою 2 піраміди і прямокутний паралелепіпед, основи якого сполучені з основами двох однакових правильних пірамід. При якому куті нахилу бічних граней пірамід до їх основ поверхня такого тіла буде найменшою, якщо його об’єм дорівнює .

 

Завдання № 6. Записати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в заданій точці .

 

6. 1. , .

6. 2. , .

6. 3. , .

6. 4. , .

6. 5. , .

6. 6. , .

6. 7. , .

6. 8. , .

6. 9. , .

6. 10. , .

6. 11. , .

6. 12. , .

6. 13. , .

6. 14. , .

6. 15. , .

6. 16. , .

6. 17. , .

6. 18. , .

6. 19. , .

6. 20. , .

6. 21. , .

6. 22. , .

6. 23. , .

6. 24. , .

6. 25. , .