Радиус и область сходимости степенного ряда

Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, при котором ряд сходится, если , и расходится, если .

Для нахождения радиуса сходимости R составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим признак Даламбера. Найдем

.

В соответствии с признаком Даламбера ряд сходится, если этот предел меньше единицы, т. е.

,

и расходится, если .

Отсюда следует, что радиус сходимости равен

.

При использовании данной формулы необходимо не забывать, что в этой формуле и коэффициенты в членах степенного ряда при х в степени n и n +1, а не члены ряда.

С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости .

Пример 9.1. Найти область сходимости ряда .

Находим радиус сходимости

.

Интервал сходимости ряда .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся, его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. По теореме Лейбница он сходится (см. пример 8.15).

При ряд является гармоническим. Как известно он расходится.

Следовательно, область сходимости ряда .

Пример 9.2. Найти область сходимости ряда .

Находим радиус сходимости

.

Интервал сходимости .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся.

Члены ряда монотонно убывают

и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.

При ряд имеет вид . Его сходимость исследуем по интегральному признаку Коши. Находим

.

Интеграл сходится и ряд сходится.

Следовательно, область сходимости ряда .

Пример 9.3. Найти область сходимости ряда .

Введем новую переменную , ряд примет вид .

Найдем радиус сходимости этого ряда.

.

Интервал сходимости ряда .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся.

Члены ряда монотонно убывают

и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.

При ряд имеет вид . Ряд расходится, так как степень n в знаменателе (см. пример 8.12).

Область сходимости ряда . Переходим к исходной переменной:

Область сходимости исходного ряда .

В отдельных случаях степенные ряды могут содержать только четные степени переменной или нечетные степени . Для нахождения радиуса сходимости ряда в таком случае составляется ряд из абсолютных величин этого ряда, а затем применяется признак Даламбера.

Для ряда с четными степенями составляем ряд и применяем признак Даламбера .

Ряд сходится, если , т. е. и расходится, если . Следовательно, можно определить квадрат радиуса сходимости такого ряда по формуле

.

Для ряда с нечетными степенями составляем ряд , применяем признак Даламбера .

Ряд сходится, если Û и расходится, если

. Следовательно, в случае ряда с нечетными степенями справедлива та же формула для квадрата радиуса сходимости.

Пример 9.4. Найти область сходимости ряда .

Находим .

Радиус сходимости . Интервал сходимости ряда .

При ряд расходится (гармонический).

При ряд расходится.

Область сходимости ряда .