2014-02-02
124776
Радиусом сходимости степенного ряда 
называется такое число R, при котором ряд сходится, если 
, и расходится, если 
.
Для нахождения радиуса сходимости R составим ряд из абсолютных величин членов ряда 
и применим признак Даламбера. Найдем
.
В соответствии с признаком Даламбера ряд сходится, если этот предел меньше единицы, т. е.
,
и расходится, если 
.
Отсюда следует, что радиус сходимости равен
.
При использовании данной формулы необходимо не забывать, что в этой формуле 
и 
коэффициенты в членах степенного ряда при х в степени n и n +1, а не члены ряда.
С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При 
степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости 
.
Пример 9.1. Найти область сходимости ряда 
.
Находим радиус сходимости
.
Интервал сходимости ряда 
.
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При 
ряд имеет вид 
является знакочередующимся, его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. По теореме Лейбница он сходится (см. пример 8.15).
При 
ряд 
является гармоническим. Как известно он расходится.
Следовательно, область сходимости ряда 
.
Пример 9.2. Найти область сходимости ряда 
.
Находим радиус сходимости
.
Интервал сходимости .
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При ряд имеет вид 
является знакочередующимся.
Члены ряда монотонно убывают 
и стремятся к нулю 
. По теореме Лейбница ряд сходится.
При ряд имеет вид 
. Его сходимость исследуем по интегральному признаку Коши. Находим
.
Интеграл сходится и ряд сходится.
Следовательно, область сходимости ряда 
.
Пример 9.3. Найти область сходимости ряда 
.
Введем новую переменную 
, ряд примет вид 
.
Найдем радиус сходимости этого ряда.
.
Интервал сходимости ряда 
.
Исследуем сходимость ряда в граничных точках.
При 
ряд имеет вид 
является знакочередующимся.
Члены ряда монотонно убывают 
и стремятся к нулю 
. По теореме Лейбница ряд сходится.
При 
ряд имеет вид 
. Ряд расходится, так как степень n в знаменателе 
(см. пример 8.12).
Область сходимости ряда 
. Переходим к исходной переменной: 
Область сходимости исходного ряда 
.
В отдельных случаях степенные ряды могут содержать только четные степени переменной 
или нечетные степени 
. Для нахождения радиуса сходимости ряда в таком случае составляется ряд из абсолютных величин этого ряда, а затем применяется признак Даламбера.
Для ряда с четными степенями составляем ряд 
и применяем признак Даламбера 
.
Ряд сходится, если 
, т. е. 
и расходится, если 
. Следовательно, можно определить квадрат радиуса сходимости такого ряда по формуле
.
Для ряда с нечетными степенями составляем ряд 
, применяем признак Даламбера 
.
Ряд сходится, если Û и расходится, если
. Следовательно, в случае ряда с нечетными степенями справедлива та же формула для квадрата радиуса сходимости.
Пример 9.4. Найти область сходимости ряда 
.
Находим 
.
Радиус сходимости 
. Интервал сходимости ряда 
.
При 
ряд расходится (гармонический).
При 
ряд расходится.
Область сходимости ряда .
