2017-11-01
517Лабораторна робота №2
Тема: Обчислення ймовірності події.
Мета: Навчити використовувати формули та правила комбінаторики до обчислення ймовірності події за формулою класичної ймовірності.
Обладнання: Комп’ютер.
Теоретичні відомості
Ймовірністю випадкової події А називають відношення m — кількості подій, які призводять до появи події А, до кількості n усіх рівноможливих попарно несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.
Формула класичної ймовірності випадкової події А має вигляд:
. (1)
Властивості ймовірності події. Використовуючи формулу (1), маємо:
1. P (U) = 1, бо для вірогідної події m = n;
2. P (V) = 0, бо для неможливої події m = 0;
3. 0 < P (A) < 1, бо для випадкової події 0 < m < n.
Отже, для будь-якої події А маємо 0 £ P (A) £ 1, бо m £ n, m ³ 0, n > 0.
Скінченні сукупності предметів відрізняються між собою або кількістю, або порядком розташування, або самими предметами, або порядком і складом предметів тощо. Такі сукупності називають сполуками.
Сполуки можна розглядати як множини елементів. Розділ математики, в якому вивчаються сполуки, називають теорією сполук, або комбінаторикою. У комбінаториці розглядають методи розв’язування задач, у яких йдеться про вибір і розташування елементів деякої скінченної множини. Майже завжди в комбінаторних задачах є слова «Скількома способами…?».
Взагалі, якщо дано скінченну множину 
, то розміщенням з n елементів по т елементів називають будь-яку впорядковану підмножину, яка містить т елементів, де m £ n.
Іншими словами, будь-які два розміщення з n елементів по т елементів відрізняються між собою або складом елементів, або їх порядком.
Кількість усіх розміщень з п елементів по т елементів дорівнює добутку т послідовних натуральних чисел, найбільшим з яких є число п, тобто якщо m £ n, маємо:
(1)
(2)
Будь-яку скінченну множину, яка містить n елементів, можна впорядкувати різними способами. Кожна з упорядкованих множин містить ті ж n елементів, а відрізняються множини між собою лише порядком розташування елементів. Такі впорядковані n -елементні множини називають перестановками з n елементів.
Кількість усіх перестановок з n елементів можна знайти з формули числа розміщень 
, якщо m = n:
·...· 
або 
·... 
Цю формулу, як правило, записують у зворотному напрямі:
. (3)
Символ n! (ен-факторіал) позначає добуток усіх натуральних чисел від 1 до n.
Використовуючи поняття n!, можна отримати інший вигляд формули для :
(4)
або 
. (5)
Розглянемо тепер підмножини скінченної множини, які відрізняються одна від одної тільки складом елементів, тобто такі, в яких порядок елементів значення не має. Іншими словами, розглянемо такі підмножини, кожні дві з яких мають принаймні по одному відмінному елементу. Усі такі множини називають комбінаціями.
Комбінацією з n елементів по m елементів називають будь-яку підмножину з m елементів, утворену із множини, яка містить n елементів.
Кількість усіх комбінацій з n елементів по m елементів позначають символом 
, де m £ n.
Число всіх комбінацій з n елементів по m елементів:
. (6)
Використавши формули (1) і (2), отримаємо формулу в іншому вигляді:
. (7)
«Правило суми», можна сформулювати так: Якщо елемент a можна вибрати p різними способами, а після цього елемент b – q різними способами, причому будь-який вибір елемента а не збігається з вибором елемента b, то вибрати елемент а або b можна p + q способами.
«Правило добутку», формулюється так: Якщо елемент a можна вибрати p різними способами і при кожному виборі елемента a елемент b можна вибрати q різними способами, то вибір пари (a, b), тобто a і b, можна здійснити p ∙ q способами.
Все вище сказане можна подати такою таблицею:
| 1. Вибір виду сполуки і відповідної формули | ||
| Чи враховується порядок розміщення елементів? | ||
| Так | Ні | |
| Чи всі елементи входять до сполуки? | ||
| Так | Ні | |
| Перестановки | Розміщення | Комбінації |
 
| 
| 
|
| 2. Модель | ||
| Впорядкована множина з n елементів | Впорядкована множина з m різних елементів, кожний з яких вибрано з n -елементної множини. | Довільна множина з m різних елементів, кожний з яких вибрано з n- елементної множини. |
| 3. Характеристичні ознаки | ||
| 1) елементи різні; 2) усі місця зайняті; 3) порядок елементів важливий. | 1) елементи і місця різні; 2) 0 £ m £ n; 3) усі m місць зайняті; 4) порядок елементів важливий. | 1) елементи різні; 2) 0 £ m £ n; 3) порядок вибору елементів не має значення. |
| 4. Ключові слова | ||
| n елементів розмістити по n місцях; переставити n елементів. | З n елементів вибрати m; розмістити по m місцях. | З n елементів вибрати m; розбити n елементів на m і (n – m) елементів. |
Завдання 1.
1. Із n жетонів, пронумерованих числами від 1 до n, навмання виймають m жетонів. Знайти ймовірність того що номери жетонів виявляться одночасно кратними 4 або 9.
а) n=35, m=2
б) n=200, m=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
2.У скриньці лежать m білих, n червоних та k синіх кульок. Навмання вибирають r кульок. Знайти ймовірність того, що вони всі одного кольору.
а) m=7, n=5, k=8, r=3
б) m=45, n=60, k=55, r=20
в) див. рекомендації до виконання завдань
3. На картках написані числа від 1 до n. Навмання вибирають m карток. Знайти ймовірність того, що вибрані числа одночасно будуть або дільниками числа 30, або числами, що діляться на 5.
а) n=30, m=2
б) n=230, m=6
в) див. рекомендації до виконання завдань
4. Знайти ймовірність витягнути з колоди, яка містить n карти, m карт червоної масті.
а) n=36, m=2
б) n=52, m=2
в) див. рекомендації до виконання завдань
5. У шаховому турнірі беруть участь m гросмейстерів, n міжнародних майстрів і r майстрів спорту. Знайти ймовірність того, що за першим столом зустрінуться шахісти одної категорії.
а) m=10, n=6, r=4
б) m=45, n=35, r=20
в) див. рекомендації до виконання завдань
6. У скриньці m ламп потужністю 100 вт і n ламп потужністю 60 вт, які зовні не відрізняються. Знайти ймовірність того, що k випадково вибраних зі скриньки ламп будуть однакової потужності.
а) m=10, n=5, k=2
б) m=100, n=80, k=50
в) див. рекомендації до виконання завдань
7. З колоди на n карт навмання виймають m карт. Знайти ймовірність того, що це карти однієї масті.
а) n=36, m=2
б) n=52, m=4
в) див. рекомендації до виконання завдань
8. Робітник за зміну з m деталей виготовив n деталей вищого ґатунку, k деталей – другого ґатунку, решта – першого. Знайти ймовірність того, що з навмання вибраних r деталей всі будуть одного ґатунку.
а) m=50, n=20, k=20, r=2
б) m=250, n=60, k=100, r=15
в) див. рекомендації до виконання завдань
9. В лотереї є m білетів, серед яких n виграшів по 50 грн., k виграшів по 20 грн., r виграшів по 10 грн. і p виграшів по 2 грн.. Гравець придбав s білетів. Знайти ймовірність того, що він придбав виграшні білети однакового номіналу з виграшем не більше 20 грн.
а) m=100, n=1, k=3, r=6, p=15, s=2
б) m=250, n=2, k=5, r=15, p=25, s=3
в) див. рекомендації до виконання завдань
10. В лабораторії знаходяться m кролів, з них носіїв вірусу В1 – n, носіїв вірусу В2 – k, носіїв вірусу В3 – r. Навмання взято s кролів. Знайти ймовірність того, що всі вони носії однакового вірусу.
а) m=20, n=5, k=5, r=7, s=3
б) m=100, n=15, k=25, r=20, s=3
в) див. рекомендації до виконання завдань
11. Екзаменаційні роботи абітурієнтів зашифровані номерами від 1 до n. Навмання вибираються m робіт. Знайти ймовірність того, що номери цих робіт діляться на 10 або на 11.
а) n=100, m=2
б) n=200, m=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
12. З колоди на n карт навмання виймають m карт. Знайти ймовірність того, що всі вони будуть одного кольору.
а) n=36, m=8
б) n=52, m=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
13. В урні знаходяться m білих та n чорних куль. Що ймовірніше витягнути k білих чи r чорних куль?
а) m=6, n=3, k=3, r=2
б) m=100, n=50, k=50, r=25
в) див. рекомендації до виконання завдань
14. У лабораторії працюють m жінок та n чоловіків. k людей повинні їхати у відрядження. Знайти ймовірність того, що у відрядження поїдуть люди однакової статі.
а) m=10, n=7, k=2
б) m=20, n=10, k=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
15. В ящику знаходяться m банок І сорту, n банок ІІ сорту і k банок ІІІ сорту. Знайти ймовірність того, що серед вибрані навмання всі r банок будуть одного сорту.
а) m=10, n=15, k=7, r=2
б) m=40, n=25, k=30, r=10
в) див. рекомендації до виконання завдань
Завдання 2.
1. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі товару у складі інженерів і спеціалістів дослідження ринку. Знайти ймовірність того, що команда такого складу буде створена, якщо з групи m інженерів і n спеціалістів з проблем ринку вибирати навмання k осіб, серед яких не менше r інженерів.
а) m=10, n=5, k=5, r=3
б) m=50, n=15, k=9, r=7
в) див. рекомендації до виконання завдань
2. Інвестиційна компанія має m пакетів акцій, серед яких n пакетів цукрових заводів. Знайти ймовірність того, що серед навмання вибраних k пакетів більше r пакетів цукрових заводів.
а) m=20, n=8, k=5, r=3
б) m=80, n=15, k=10, r=7
в) див. рекомендації до виконання завдань
3. За списком групи є m дівчат і n хлопців. Навмання по одному називають по журналу номери k студентів. Знайти ймовірність того, що серед них не менше r хлопців.
а) m=16, n=9, k=3, r=2
б) m=20, n=25, k=4, r=2
в) див. рекомендації до виконання завдань
4. Студент знає m із n питань програми з фізики. Знайти ймовірність того, що він відповість не менше, ніж на k з r поставлених викладачем питань.
а) m=50, n=60, k=2, r=3
б) m=100, n=200, k=4, r=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
5. Із комплекту, в якому m якісних деталей і n деталей з дефектами, навмання вибирають r деталей. Знайти ймовірність того, що хоча б k деталей будуть якісними.
а) m=25, n=10, k=2, r=3
б) m=50, n=30, k=3, r=4
в) див. рекомендації до виконання завдань
6. З колоди у n карт довільно вийняли 3 карти. Знайти ймовірність того, що це 2 валети і десятка одного кольору.
а) n=36, m=3
б) n=52, m=3
в) див. рекомендації до виконання завдань
7. У лабораторії працюють n жінок і m чоловіків. k людей повинні їхати у відрядження. Знайти ймовірність того, що у відрядження поїде не менше r жінок.
а) m=12, n=8, k=5, r=4
б) m=50, n=30, k=7, r=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
8. В ящику лежать m ламп потужністю 40 вт, n ламп потужністю 60 вт і k ламп потужністю 100 вт. Навмання виймають r ламп. Знайти ймовірність того, що серед них не менше s ламп потужністю 100 вт.
а) m=20, n=10, k=15, r=4, s=3
б) m=50, n=30, k=20, r=5, s=3
в) див. рекомендації до виконання завдань
9. До коробки з m новими ручками поклали n ручок, в яких вже немає пасти. Знайти ймовірність того, що серед k навмання взятих ручок будуть принаймні r нових.
а) m=10, n=5, k=3, r=2
б) m=50, n=10, k=7, r=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
10. В ящику знаходяться m м’ячів, серед яких n нових. Для першої гри вибирають 3 нові м’ячі, які після гри повертаються в ящик. Для другої гри вибирають навмання k м’ячів. Знайти ймовірність того, що серед них хоча б r нових.
а) m=15, n=9, k=3, r=2
б) m=50, n=10, k=7, r=5
в) див. рекомендації до виконання завдань
11. В ящику знаходиться m консервних банок І сорту і n банок ІІ сорту. Для контролю навмання вибирають k банок. Знайти ймовірність того, що серед вибраних банок буде більше r банок ІІ сорту.
а) m=8, n=7, k=6, r=4
б) m=50, n=30, k=10, r=8
в) див. рекомендації до виконання завдань
12. Із m білетів є n виграшних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих k білетів не більше r виграшних.
а) m=16, n=6, k=7, r=1
б) m=50, n=10, k=8, r=2
в) див. рекомендації до виконання завдань
13. На полиці у випадковому порядку стоять m підручників, причому n з них з алгебри. Бібліотекар бере навмання k підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б r підручники з алгебри.
а) m=15, n=5, k=3, r=2
б) m=50, n=30, k=8, r=6
в) див. рекомендації до виконання завдань
14. Екзаменаційні роботи абітурієнтів зашифровані номерами від 1 до n. Навмання вибираються k роботи. Знайти ймовірність того, що номери хоча б r з цих робіт діляться на 10.
а) n=100, k=3, r=2
б) n=1000, k=8, r=6
в) див. рекомендації до виконання завдань
15. З урни, що містить m білих і n чорних куль навмання вибирають k кулі. Знайти ймовірність того, що серед вибраних куль не менше r білої.
а) m=4, n=6, k=3, r=1
б) m=50, n=30, k=8, r=6
в) див. рекомендації до виконання завдань
Рекомендації до виконання завдань
В пункті а) кожного завдання зробити всі необхідні пояснення і провести обчислення, використавши програму Калькулятор. В пункті б) провести необхідні обчислення, використавши стандартні функції середовища Excel. Пункт в) – в середовищі Excel перевірити правильність обчислень пункту а).
Приклад.
У ящику є 4 деталі першого виду, 5 деталей другого виду та 3 деталі третього виду. Навмання вибирають 2 деталі. Знайти ймовірність того, що це деталі одного виду.
Зразок виконання завдання.
а) 
Тоді 
б)
| k | |
| l | |
| s | |
| r | |
| m | |
| n | |
| P(a) | 0,287879 |
Для знаходження комбінацій використовується функція ЧИСЛКОМБ.
Контрольні запитання
1. Як ви розумієте поняття сполуки?
2. Що нас цікавить у кожному з видів сполук?
3. Що таке комбінаторика?
4. Дайте означення розміщення з n елементів по m елементів. Яке співвідношення існує між натуральними числами n та m? Як символічно записується число розміщень з n по m?
5. За якою формулою обчислюється Amn?
6. Дайте означення перестановки з n елементів.
7. Сформулюйте означення комбінації з n елементів по m елементів.
8. За якими формулами обчислюється кількість комбінацій з n елементів по m елементів?
9. Чим відрізняються між собою розміщення і комбінації з n елементів по m елементів?
10. Чого більше – розміщень чи комбінацій з n елементів по m елементів?
11. Сформулюйте комбінаторні правила суми та добутку.
