Примеры решения задач

 

Пример 1

Тело массой кг под действием силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом от времени задана уравнением . Определить работу силы за секунд с начала ее действия.

Решение

Работа, совершенная любой силой, выражается через интеграл:

;

Силу, действующую на тело, определим по второму закону Ньютона:

;

где – мгновенное значение ускорения.

 

;

 

м/с².

 

Тогда – сила постоянная, от времени не зависит.

Так как зависит от времени, из формулы найдем

;

 

Подставим в формулу для работы силу и

 

Ответ: А=960 Дж.

 

Пример 2

Две гири разного веса соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции которого кг·м² и радиус см. Блок вращается с трением и момент силы трения равен н·м. Найти разность натяжений нити по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением рад/с².

 

Решение

1. Систему отсчета связали с лабораторией.

2. На гири действуют силы натяжения и . Эти же силы и действуют на блок (по 3-ему закону Ньютона).

3. Составим уравнение вращательного движения блока:

;

где – момент сил трения;

– момент сил

натяжения.

4. Решим уравнение вращательного движения:

;

 

Н.

Ответ: 99,5 Н

Пример 3

В баллоне емкостью дм³ содержится кислород при температуре ^oС и под давлением 10⁷ Па. Нагреваясь солнечными лучами, кислород получил 8350 Дж теплоты. Определить температуру и давление кислорода после нагревания.

 

Решение

Для определения давления воспользуемся основным уравнением газового состояния.

До нагревания .

После нагревания .

Из этих уравнений найдем, что ;

В формуле для давления кислорода после нагревания неизвестна температура. Пренебрегая нагреванием баллона, можно считать процесс нагревания изохорным. Тогда количество теплоты, необходимое для нагревания кислорода будет определяться по формуле:

 

где – молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Подставив в формулу для , и учитывая, что найдем .

Произведя вычисления в единицах системы СИ, получим, что ^oK, Па.

Ответ: 310⁰К; 1,03·10⁷

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

 

Вариант 1-1

 

1. Движение материальной точки задано уравнением X=At+Bt², где А=4 м/с; В=-0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость V точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

Ответ: 40 с; 80 м; -0.1 м/с².

2. По дуге окружности радиусом R=10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки a_п=4.9 м/c². B этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол ф=60. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

Ответ: 7м/с; 8.5 м/с2.

3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m₁ = 1.5 кг и m₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

Ответ: P=4*g*m₁*m₂/(m₁+m₂)=39.2 H.

4. Тело массой 8 кг начинает скользить с вершины наклонной плоскости высотой 9.4 м с углом наклона 60°. У основания плоскости стоит тележка с песком массой 90 кг. С какой скоростью начнет двигаться тележка, когда тело упадет на нее? Коэффициент трения 0.1.

Ответ: V=0.39 м/с.

5. Определить момент инерции проволочного равностороннего треугольника со стороной а=10 см относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине.

Ответ: J = 5/12ma² = 5·10⁵ кг·м².

6. 12 г азота занимают объем 4 л при температуре 7°С. При нагревании газа при постоянном давлении его плотность стала равной 6 ^,10^-4 г/см3. До какой температуры нагрели газ?

Ответ: 1400 К.

7. Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при одинаковых условиях и в равных объемах. Определить удельную теплоемкость смеси С_р.

Ответ: Ср= 417 Дж/кг·К.

8. Какая часть молекул кислорода при 0 ⁰ С обладает скоростью от 100 м/с до 110 м/с

Ответ: 0,4%.

9. При нагревании некоторой массы газа на ∆Т=1К давление газа на стенки сосуда изменилось на 1/340 часть первоначального давления, объем газа оставался неизменным. Найдите начальную температуру газа.

Ответ: 340К.

10. Водород массой m=100 г был изобарически нагрет так, что объем его увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорически охлажден так, что давление его уменьшилось в 3 раза. Найти изменение DS энтропии в ходе указанных процессов.

Ответ: DS = mRl_mn/m = 457 Дж/К.

Вариант 1-2

1. Точка движется по прямой согласно уравнению X=At+Bt³, где А=6 м/с; В=-0.121 м/с³. Определить среднюю путевую скорость <V> точки в интервале времени от t₁=2 с до t₂=6 c.

Ответ: 3 м/с.

2. Диск радиусом r=10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением e=0.5 рад/с². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

Ответ: а_t=5 см/с², а_n=10 см/с2, а=11 см/с².

3. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R=200 м. Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость самолета V=100 м/с?

Ответ: в 6.1 раза.

4. Два неупругих шара массами m₁=2 кг и m₂=3 кг движутся со скоростью соответственно V₁=8 м/c и V₂=4 м/с. Определить увеличение внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1.Меньший шар нагоняет большой; 2.Шары движутся навстречу друг другу.

Ответ: DU=m1m2(V1-V2); 1) 9.6 Дж; 2) 86.4 Дж.

5. Диаметр диска d=20 cм, масса m=800 г. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

Ответ: I = 3(mR³)/4 = 6·10^-3 кг·м².

6. В сосуде вместимостью V=2.24 л при нормальных условиях находится кислород. Определить количество молей и массу кислорода, а также концентрацию его молекул в сосуде.

Ответ: 0.1 моль; 2.3 г; 2.68·10²⁵ м^-3.

7. Вычислить удельные теплоемкости C_v и С_р смеси неона и водорода. Массовые доли газов соответственно равны 0.8 и 0.2. Значения удельных теплоемкостей неона и водорода соответственно равны С_v1=624 Дж/кг · К; С_р1=1.04 кДж/кг · К; С_v2=10.4 кДж/кг · К; С_р2=14.6 кДж/кг · К.

Ответ: С_v=2.58 кДж/кг·К; Ср=3.73 кДж/кг·К.

8. Определить относительное число молекул идеального газа, скорости которых заключены в пределах от 0 до 0.01V_в (до 0.01 наиболее возможной скорости).

Ответ: 7.52·10^-7.

9. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Определить работу расширения, если пару передано количество теплоты Q=4 кДж.

Ответ: 1 кДж.

10. Водород массой m=100 г был изобарически нагрет так, что объем его увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорически охлажден так, что давление его уменьшилось в 3 раза. Найти изменение DS энтропии в ходе указанных процессов.

Ответ: DS = mRl_mn/m = 457 Дж/К.

 

Вариант 1-3

1. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S=A-Bt+Ct², где А=6 м; В=3 м/с; С=2 м/с². Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале времени от 1 с до 4 с. Построить графики пути, скорости и ускорения для 0 £ t ³ 5 c через 1 с.

Ответ: <V> = 7 м/с; <а>=4 м/с².

2. Камень брошен горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: a_t=5.4 м/c²; a_n=8.2 м/c².

3. Диск радиусом R=40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения f=0.4, найти частоту n вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

Ответ: 0.5 с^-1.

4. Два груза массами m₁=10 кг и m₂=15 кг подвешены на нитях длиной l=2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол ф=60° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим.

Ответ: h=l(1-cos ф)(m₁/(m₁+m₂))=16 cм.

5. Вал массой m=100 кг и радиусом R=5 см вращался с частотой n=8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 H, под действием которой вал остановился через t=10 c. Определить коэффициент трения f.

Ответ: f = 4pmRn/Ft = 0.31.

6. Какое число молекул двухатомного газа занимают объем 10 см³ при давлении 40 мм рт.ст. и температуре 27 °С? Какой энергией теплового движения обладают эти молекулы?

Ответ: 1,3·10¹⁹; 0.133 Дж.

7. В сосуде объемом 0.11 м³ содержится смесь газов: 7 г азота и 1 г водорода при температуре 380° К. Определить давление смеси.

Ответ: 175 кПа

8. Температура водорода 300 К. Определите, какую часть от общего числа молекул составляют молекулы, модуль скорости которых отличаются от наиболее вероятной не больше чем на 5 м/с.

Ответ: DN/N=0.53 %

9. Углекислый газ (СО₂), начальная температура которого 360 К, адиабатически сжимается до 1/20 своего первоначального объема. Определите изменение внутренней энергии и совершенную при этом работу, если масса газа 20 г.

Ответ: |А|=|DU|=7.05 Дж.

10. Кислород массой m=2 кг увеличил свой объем в 5 раз сначала изотермически, затем – адиабатически. Найти изменения энтропии в каждом из указанных процессов.

Ответ: DS₁=836 Дж/К; DS₂=0.

 

Вариант 1-4

1. Зависимость пройденного телом пути S=A+Bt+Ct², где А=3 м; В=2 м/с; С=1 м/с². Найти среднюю скорость и среднее ускорение за первую, вторую и третью секунды его движения.

Ответ: <v₁>=3 м/c; <v₂>=5 м/с; <v₃>=7 м/с. <а₁>=<а₂>=<а₃>=2 м/с².

2. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 минуту с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Ответ: e=-0.21 рад/с²; N=240 об.

3. Тело массой m=0.2 кг соскальзывает без трения по желобу высотой h=2 м. Начальная скорость V₀ шарика равна 0. Найти изменения импульса шарика и импульс, полученный желобом при движении тела.

Ответ: Dр=1.25 н·с; р=-1.25 н·с.

4. Тело весом р₁=2 кг движется навстречу второму телу, вес которого р₂= 1.5 кг, и неупруго сталкивается с ним. Скорость тела непосредственно перед столкновением была равна соответственно V₁=l м/c и V₂=2 м/с. Сколько времени будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения равен К=0.05?

Ответ: Dt=0.58 с.

5. Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиусом R=20 cм и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

Ответ: I=l/2mR².

6. 10 г кислорода находится под давлением 3 атм. при температуре 10 °С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Найти температуру и плотность газа после расширения.

Ответ: 1170 К; 1 кг/м³.

7. Найти плотность газовой смеси водорода и кислорода, если массовые доли их равны соответственно 1/9 и 8/9. Смесь находится при давлении 100 кПа и температуре 300 К.

Ответ: 0.402 кг/м³.

8. В сосуде под поршнем находится гремучий газ, занимающий при нормальных условиях объем 10^-4 м³. При быстром сжатии газ воспламенятся. Найти температуру воспламенения гремучего газа, если известно, что работа сжатия равна 4.73 кГм.

Ответ: Т=780 К.

9. В баллоне находится 2.5 г кислорода. Найти число молекул кислорода, скорости которых превышают значение средней квадратичной скорости.

Ответ: DN=1.9·10²².

10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя в 4 раза выше температуры охладителя. Какую долю от количества теплоты, получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает охладителю?

Ответ: 1/4.

 

Вариант 1-5

1. Колесо радиусом R=10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением V=At+Bt², где А=3 см/с; В=1 м/с². Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени t=0.3 и 5 с после начала движения.

Ответ: a=90°; 15° 32'; 4° 38'.

2. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t=0.1 с?

Ответ: 5.61 м.

3. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с². Уклон горы равен 1 м на каждые 25 м пути. Вес автомобиля 9.8·10³ H. Коэффициент трения равен 0.1.

Ответ: F=2370 H.

4. Снаряд весом 980 Н, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком весом 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если: вагон стоял неподвижно; вагон двигался со скоростью 36 км/ч в том же направление, что и снаряд.

Ответ: 17.8 км/ч; 53.5 км/ч.

5. Две гири разного веса соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции которого I=50 кг·м², и радиус R=20 см. Блок вращается с трением и момент сил равен М_тр=98.1 н·м. Найти разность натяжений нити T₁-T₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением e=2.36 рад/с².

Ответ: Т₁-Т₂ = (Ie-М_тр)/R = 1080 Н.

6. В сосуде, объем которого 3 л, находится кислород при температуре 17 °С. Давление газа 10^-3 мм.рт.ст. Определите: сколько молекул кислорода имеется в сосуде; среднюю внутреннюю энергию газа.

Ответ: 10¹⁷; 6.25·10¹⁵ Эв.

7. В замкнутом сосуде находится смесь водорода и азота при температуре 27 °С и давлении 10⁵ Па. Как изменится давление смеси, если температуру повысить до 150 °С?

Ответ: 1.415·10⁵ Па.

8. Показания барометра на вершине горы составляют 43 % от показания барометра у подножия горы. Определите высоту этой вершины, если температура воздуха 10 °С.

Ответ: h=6900 м.

 

9. В цилиндре под поршнем находится в замкнутом пространстве воздух. Какая работа должна быть произведена, чтобы поднять поршень на h₁=10 см, если начальная высота столба воздуха h₀=15 см и наружное давление р₀=10⁵ Па? Площадь поршня S=10 cм². Весом поршня можно пренебречь. Температура газа в цилиндре остается неизменной.

Ответ: -2.33 Дж.

10. В результате нагревания 22 г азота его абсолютная температура увеличилась в 1.2 раза, а энтропия увеличилась на 4.19 Дж/град. При каких условиях производилось нагревание (при постоянном объеме или при постоянном давлении)?