,
то применяя указанную теорему получаем:
,
откуда
,
или иначе
|
Подставим (55) в равенство (54) получим:
или
откуда
|
Алгоритм расчета:
1. Выбираем весовые коэффициенты k1 и k2 в зависимости от пожеланий инвестора.
2. Рассчитываем коэффициенты a12, a22 .
3. Рассчитываем (по формуле 56).
4. Рассчитываем x* (по формуле 55).
5. Рассчитываем риск портфеля.
6. Рассчитываем эффективность портфеля.
Теорема 1. Структура согласованного оптимального портфеля зависит от коэффициента относительного предпочтения:
Доказательство:
Подставим из равенства (56) в равенство (55).
Получим:
или иначе
|
Теорема доказана.
В случае независимых ценных бумаг формулу (6) можно упростить.
,
где i=1,…,n.
Теорема 2. Выбором коэффициента относительного предпочтения можно получать портфель с либо заранее заданным риском, либо с заранее заданной эффективностью.
Доказательство:
1. Докажем, что выбором Kопт можно получить портфель с любой, заранее заданной эффективностью.
Зафиксируем mпорт. Из формулы (57)имеем:
|
|
То есть
Откуда
|
2. Аналогично можно доказать, что выбором Kопт можно построить портфель с любым уровнем риска, большим чем некоторое заранее заданное число.
|
имело решение.
Подставим (57) в (59):
Отсюда следует, что при
,
найдется соответствующее число .
Теорема доказана.
Замечание 1. Для каждого инвестора нужно составить свой коэффициент Kопт, который зависит от соотношения склонности к риску и желаемого размера прибыли.