Параметрические кубические кривые

Параметрическая кубическая кривая задаётся тремя уравнениями.

x(t)=a_xt³+b_xt²+c_xt+d_x

y(t)=a_yt³+b_yt²+c_yt+d_y

z(t)=a_zt³+b_zt²+c_zt+d_z

Параметр t лежит в пределах от 0 до 1. Нам необходимо знать все коэффициенты уравнений, чтобы однозначно определить положение кривой в пространстве. В определении коэффициентов всегда используют производные.

Производные определяют касательный вектор к данной кривой. Записывают уравнения параметрических кубических кривых в различном виде. Наиболее известны форма Эрмита и форма Безье. В последнее время, в связи с развитием пространственного проектирования сложных объектов используют форму записи в виде B-сплайнов.

1) Рассмотрим форму Эрмита.

Исходными данными являются точки: касательная P₁, конечная P₄ и касательная вектора в этих точках. Это один приближающий участок.

R₁

P₄ R₄

P₁

Для кривой более сложной формы на следующем участке конечная точка становится начальной и добавляется новая конечная.

R₄’

R₁

P₄ R₄ P₄’

P₁

Таких участков может быть сколь угодно много.

X(0) = P_1x

X’(0) = R_1x

Аналогично по всем координатам. В конечной точке P₄:

X(1) = P_4x

X’(1) = R_4x

…

это равно С_х

T

Аналогично z(t).

Совершенно аналогично для производных.

y’(t) и z’(t) аналогично.

Подставим в x(t) и x’(t) 0 и 1:

x(0) = P_1x = [0, 0, 0, 1]* C_x

x(1) = P_4x = [1, 1, 1, 1]* C_x

x’(0) = P_1x = [0, 0, 1, 0]* C_x = R_1x

x’(1) = P_4x = [3, 2, 1, 0]* C_x = R_4x

Эрмитова

матрица G_hx

x(t)=TM_hG_hx

y(t)=TM_hG_hy

z(t)=TM_hG_hz