В эконометрике анализ временных рядов с использованием оценки спектральной плотности (спектральный анализ) играет, как правило, вспомогательную роль, помогая установить периоды характерных циклов. Наибольшее распространение получили параметрические модели стационарных случайных процессов — модели авторегрессии и скользящего среднего.
Пусть Xt — значения стационарного случайного процесса, m =EXt, xt=Xt- m. Введем случайный процесс x(t) Î N (0,s 2), для которого E x t= 0, D x t= s 2, E x t x t+t= 0 (t¹0). Случайный процесс xt будем называть белым шумом.
Модель AR (1) авторегрессии первого порядка имеет вид
xt= a xt- 1+ξ t, (12.1)
где |a|< 1 — необходимое условие стационарности процесса xt. В случае a= 1 получаем модель случайного блуждания
xt=xt- 1+ξ t. (12.2)
Временной ряд (12.2) является нестационарным. Пусть x0= 0. Тогда
Ext= 0, Dxt= s 2t,
а для стационарного процесса дисперсия не должна зависеть от времени t. Допустим, что для модели (12.1) дисперсия постоянна: Dxt= s x2. Тогда из формулы (12.1) следует, что
(12.3)
Наши вычисления показывают, что действительно, процесс авторегрессии первого порядка стационарен только при условии |a|< 1. При этом надо дополнительно потребовать, чтобы начальное значение x0 было случайной величиной, причем Ex0= 0, Dx0= s x2.
|
|
Если же исходить из фиксированного (неслучайного) значения x0= 0, то можно показать, что значение дисперсии (12.3) устанавливается в пределе при t ®∞.
Модель AR (2) авторегрессии второго порядка определяется формулой
xt=a1xt-1+ a2xt-2+ξt. (12.4)
Условие стационарности в этом случае сводится к требованию, чтобы корни (в общем случае комплексные) уравнения
1 - a1z- 1 - a2z- 2=0 (12.5)
удовлетворяли условию |z|< 1.
Уравнение (12.5) получается из (12.4) заменой xt на 1, xt- 1 на z-1, xt- 2 на z-2 и ξ t на 0.
Это же правило можно использовать и в случае AR (1), получается уравнение 1 -az- 1 = 0, решение которого z=a удовлетворяет условию |z|< 1.
Модель AR (p) авторегрессии p -го порядка определяется формулой
xt=a1xt-1+ a2xt-2+…+ apxt-p+ξt. (12.6)
и определяет стационарный временной ряд при условии, что корни уравнения
1- a1z-1 - a2z-2-…- apz-p= 0 удовлетворяют условию |z|< 1.
Модель MA (1) скользящего среднего (Moving average) первого порядка имеет вид xt= ξ t+b ξ t-1 и определяет стационарный временной ряд при любых значениях параметра b. Аналогично определяется модель MA (q) скользящего среднего q -го порядка:
xt=ξt+b1ξt-1+…+ b qξt-q. (12.7)
Обобщая определения (12.6) и (12.7), введем модель авторегрессии-скользящего среднего ARMA (p,q):
xt= a1xt-1+ …+ apxt-p +ξt+b1ξt-1+…+ b qξt-q, (12.8)
числа p и q определяют порядок модели ARMA (p,q).
При изучении нестационарных временных рядов используется более общая модель ARIMA (m,d,n) — модель авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего, в русской аббревиатуре — АРПСС. По сравнению с ранее обсуждавшимися моделями модель ARIMA предполагает d – кратное применение оператора конечных разностей
|
|
xt = yt - yt-1 (12.9)
к исходному временному ряду.
Однократное применение операции (12.9) устраняет линейный тренд. Действительно, если yt=а+bt, то yt-1=а+b (t- 1) и xt=b. Повторяя эту операцию несколько раз, можно получить (с некоторым приближением) стационарный временной ряд, который описывает модель ARMA. При восстановлении исходного ряда производится суммирование его членов, что соответствует интегрированию в непрерывном времени. Последнее обстоятельство проясняет смысл названия модели ARIMA.