П 1. Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Применение методов операционного исчисления.

В основном методы операционного исчисления используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, краевых задач математической физики.

Из § 1 п.1 известно, что если удовлетворяет условиям существования изображения, то справедливы свойства: , . С помощью данного свойства задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к простейшей алгебраической задаче для изображений.

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

с заданными начальными условиями:

.

задана при .

Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, используя свойства:

, , , и т.д.

Подставим в уравнение:

Получим операторное или алгебраическое уравнение относительно р.

Выразим отсюда . Приведем уравнение к виду, пригодному для нахождения оригиналов. Воспользуемся таблицами, свойствами изображений, теоремами разложения и перейдем к оригиналам, т.е найдем общее решение уравнения, затем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Продемонстрируем вышесказанное на примере.

Пример № 1. Найти общее решение уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение.

Перейдем к изображениям: пусть , , , (по таблице изображений).

Подставим в уравнение и получим операторное уравнение:

.

Выразим :

Приведем к виду, пригодному для нахождения оригиналов:

Найдем оригиналы для каждого слагаемого отдельно. Для этого пользуемся таблицей изображений.

, , ,

Подставим в уравнение (при этом применим свойство линейности) и найдем общее решение:

Обозначим . Запишем решение в виде:

общее решение уравнения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям из системы:

Отсюда , тогда

частное решение уравнения.

Ответ: общее решение, частное решение уравнения.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: