Поверхности вращения

Пусть даны линия Г и прямая р.

Определение 12. Поверхностью, полученной вращением линии Г вокруг оси р, называется множество точек всех возможных окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных р, центры которых лежат на р и которые пересекают линию Г.

Выведем уравнение поверхности вращения в том случае, когда Г и р лежат в одной плоскости (обозначим эту плоскость П). Выберем прямоугольную систему координат, направив ось (ОХ) по оси р, ось (ОУ) – в плоскости П, тогда ось (ОZ) будет перпендикулярна П.

Так как линия Г лежит в плоскости (ХОУ), то в этой плоскости она задаётся некоторым уравнением f(х, у) = 0 (*).

Пусть М(х, у, z) – произвольная точка. Тогда М Î поверхности вращения Û М Î w, где w - окружность, центр С которой лежит на оси (ОХ), её плоскость перпендикулярна оси (ОХ) и радиус равен ½NС½ (N Î Г). Тогда точка С(х, 0, 0), N(х, у₁, 0), ½NС½ = ½у₁½, ½МС½=

. Следовательно, М Î w Û

Û у₁ = ±

. Так как N Î Г, то f(х, у₁) = 0. Подставив значение у₁,

Рис. 21

получим f(х, ± ) = 0 (29). Это и есть уравнение данной поверхности вращения. Итак, получили следующее правило:

Если линия Г лежит в плоскости (ХОУ) и ось вращения совпадает с осью (ОХ), то для того, чтобы получить уравнение поверхности вращения, достаточно в уравнении линии Г координату х оставить без изменения, а у заменить на ± .

Пример 4. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии у = logx вокруг оси (ОУ).

Решение. Так как линия Г лежит в плоскости (ХОУ) и осью вращения является ось (ОУ) то в уравнении у = logx нужно у оставить без изменения, а х заменить на