Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши

Дифференциальное уравнение первого порядка   имеет вид:

(8.2)

Если это уравнение разрешено относительно , то это уравнение имеет вид:  или

Для дифференциального уравнения существует несколько видов решений: общее решение, частное решение и особое решение.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция  зависящая от  и от одной произвольной постоянной, и обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякое решение , полученное из общего решения при фиксированном значении .

Задача Коши - задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии:  при

Tеорема 8.1. Если в уравнении  функция  и ее частная производная  непрерывны в некоторой области D на плоскости  содержащей некоторую точку  то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию при

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: существует и при том единственная функция  график которой проходит через точку .

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

где  функции только от а  функции только от называется уравнением с разделяющимися переменными (ДУсРП).

Для отыскания решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства и получить общее решение исходного уравнения:

Пример. Решить уравнение:

Решение. Это ДУсРП, т.к. при  и при  стоят произведение функций, каждая из которых зависит либо только от  либо только от

Разделим обе части уравнения на произведение

или

или

Однородные дифференциальные уравнения

Понятие однородного уравнения связано с однородными функциями.

Функция  называется однородной функцией n -го порядка относительно переменных x и y, если при любом числа имеет место равенство:

Пример: Выяснить, являются ли однородными функции:

а)б)в) г)

Решение. а) Так как то данная функция однородная 1-го порядка.

б) Так как  то данная функция однородная 3-го порядка.

в) Так как  то данная функция однородная 0-го порядка.

г) Так как  то данная функция неоднородная.

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка (ОДУ) называется уравнение вида:  где  однородные функции одинакового порядка

или

Дифференциальное уравнение вида  называется однородным, если функция однородная нулевого порядка.

Решение ОДУ проводится путем введения новой переменной  или что позволяет свести это уравнение к ДУсРП.

Пример. Решить уравнение

Решение. Убедимся, что это ОДУ. Действительно,

а

а

Преобразуем исходное уравнение к виду:

Введем новую переменную тогда

Получим:

 разделим переменные

 проинтегрируем

 пусть

 общее решение ОДУ.

Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка (ЛДУ) называется уравнение, линейное (то есть первой степени) относительно y и вида:

(8. 5)

где  и  заданные функции от (или постоянные).

Особенность ЛДУ первого порядка – искомая функция у и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Решение ЛДУ сводится к решению двух ДУсРП подстановкой где  функции от  одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая определяется уравнением (…).

Пусть  тогда  Подставим в уравнение (…). Получим

Выберем функцию таковой, что выражение в скобках обратилось в нуль: . Это будет первое вспомогательное уравнение – ДУсРП относительно функции . Решая его, получим частное решение –  (можем взять любое частное решение, например, при ). Подставим  в уравнение… получим второе вспомогательное уравнение –ДУсРП относительно функции  или . Решая второе уравнение, находим общее решение в виде . Подставляя, таким образом найденные, функции  и  в формулу  окончательно получаем решение ЛДУ:

Пример.  Найти общее решение уравнения

Решение. Это ЛДУ, в котором . Будем искать решение в виде  Подставляя и  в исходное уравнение, получим:

Решаем первое вспомогательное уравнение получим

Подставляя найденную функцию получим второе вспомогательное уравнение . Таким образом, общее решение исходного ЛДУ имеет вид

Уравнение Бернулли имеет вид:  Оно отличается от ЛДУ тем, что в правую часть входит множитель функция в некоторой степени, и решается так же, как и ЛДУ подстановкой