Гипербола

Эллипс

Эллипс. Фокусы. Уравнение эллипса. Фокусное расстояние.

Большая и малая оси эллипса. Эксцентриситет. Уравнение

касательной к эллипсу. Условие касания прямой и эллипса.

Эллипсом (рис.1) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса (рис.1):

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ (рис.1), при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY, а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок F ₁ F ₂ = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осьюэллипса. Число e = c / a, e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Пусть Р (х ₁, у ₁) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х ²/ a ² + у ² / b ²= 1:

k ² = m ² a ² + b ².

Гипербола. Фокусы. Уравнение гиперболы. Фокусное расстояние.

Действительная и мнимая оси гиперболы. Эксцентриситет.

Асимптоты гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе.

Условие касания прямой и гиперболы.

Гиперболой (рис.1) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы (рис.1):

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F ₁ F ₂ = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы. Число e = c / a, e > 1 называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± (b / a) x называются асимптотами гиперболы.