Длина волны и волновое число

Литература

Геометрическое место точек, для которых при каждом реализуется условие, называют интерференционной полосой. Расстояние В между двумя соседними максимумами (или минимумами) в интерференционной картине называют шириной интерференционной полосы.

Найдём ширину полосы как расстояние между максимумами (или минимумами) порядков и :

. (2.25)

Из выражения (2.25) видно, что ширина полосы растет с удалением источников от экрана и с уменьшением расстояния между ними. При использовании коротковолнового излучения она меньше, чем в случае длинноволнового излучения.

Допустим теперь, что один из источников находится в вакууме, а другой – в среде с показателем преломления (рис. 7). Выясним, куда следует поместить источник s₂, если мы хотим. Чтобы в точку О, лежащую на границе раздела сред, волны пришли с прежней разностью фаз.

Условие неизменности разности фаз волн, приходящих в точку О, можно представить в виде

. (2.26)

В соответствии с формулами (2.13) и с учётом того, что скорость света в вакууме равна с, условие (2.26) можно привести к виду

. (2.27)

Поскольку при переходе волн из одной среды в другую частота колебаний не изменяется (), то из выражения (2.27) следует: . Отсюда получим: , или

. (2.28)

Таким образом, в среде с показателем преломления источник света должен быть смещён на расстояние ближе к точке О. Расстояние

(2.29)

называют оптическим путём света в среде с показателем преломления . В выражении (2.29) - геометрический путь, пройденный светом. Очевидно, что оптический путь численно равен тому расстоянию, на которое сместится волновой фронт в вакууме за то же время, за которое он пройдёт расстояние в среде с показателем преломления .

Пусть теперь в нашем распоряжении один источник света , экран Э и плоское зеркало З (рис. 8).

В точку М волны могут попасть как непосредственно, распространяясь вдоль луча , так и после отражения от зеркала З. Легко увидеть, что и здесь, как и в опыте Юнга, имеет место деление волнового фронта, но оно сопровождается изменением направления распространения части светового пучка. Из свойств изображений, получаемых с помощью плоского зеркала, ясно, что =и . Следует заметить, что в точке К волны отражаются от оптически более плотной среды (показатель преломления материала зеркала больше, чем окружающей его среды) и, следовательно, их фаза изменяется на противоположную. Иначе говоря, происходит потеря полуволны при отражении. Поэтому разность хода волн, дошедших до точки М непосредственно от источника и после отражения от зеркала, будет равна

,

если установка находится в вакууме, и

,

если опыт проводится в среде с показателем преломления . Область, в которой наблюдается интерференционная картина на экране Э, располагается между точками и , в которые приходят волны, отражёные от крайних точек зеркала.

Заметим, что если в схеме Юнга интерферируют волны, идущие от двух действительных источников, то в схеме Ллойда один из источников действительный, а другой - мнимый. Примерами интерференционных опытов, в которых когерентные пучки получают разделением волнового фронта, могут служить установки, использующие бипризму Френеля (рис. 9), бизеркала Френеля (рис. 10), билинзу Бийе (рис. 11). Сравнивая эти схемы с рис. 6, несложно выделить на них расстояния, необходимые для расчета интерференционной картины.

Рассмотрим теперь те опыты, в которых для получения когерентных источников используется деление волн по амплитуде.

Пусть на тонкую пластинку постоянной толщины (рис.12) из вакуума падает волна с плоским фронтом (ей соответствует пучок параллельных лучей), сформированным с помощью точечного источника и линзы , в фокусе которой источник находится. Лучи , отраженный в точке С от верхней поверхности пластинки, и , вышедший из неё после преломления луча 2 в точке А, отражения его в точке В и преломления в точке С, параллельны друг другу. В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись законами отражения и преломления света. Поскольку условия распространения всех лучей, падающих на пластинку, в этом опыте одинаковы, то для пар лучей и , а также других, одинаковых с ними по происхождению, разность хода будет одинаковой:

, (2.30)

и, следовательно, при использовании источника белого света вся пластинка будет казаться окрашенной в цвет, соответствующий той длине волны, для которой выполнится условие максимума (2.21). При использовании монохроматического источника пластинка будет казаться либо окрашенной, либо темной в зависимости от того, какое из условий (2.21) и (2.22) реализуется при падении пучка под углом .

Возможность интерференционного гашения волн, отраженных от верхней поверхности пластинки, волнами, отраженными от её нижней поверхности, используется с целью просветления оптических деталей (просветления оптики), например, объективов фотоаппаратов. Энергия обеих отраженных волн «передается» волнам, прошедшим через систему, аналогичную изображенной на рис. 13.

Интерференционная картина, возникающая в опыте, соответствующем рис. 12, локализована в бесконечности, так как лучи и параллельны друг другу. Находящимися в бесконечности кажутся и два мнимых источника, определяемые системами лучей, отраженных соответственно от верхней и нижней граней пластинки. Расположив на пути лучей и и им аналогичных собирающую линзу (на рис. 12 не показана), можно получить на экране, удаленном от неё на фокусное расстояние, интерференционные полосы, каждая из которых соответствует лучам, упавшим на пластинку под одним и тем же, но разным для разных полос углом. Поэтому интерференционные полосы в данном случае называют полосами равного наклона.

Уберём теперь линзу из схемы, изображённой на рис. 12. В таком случае свет от источника упадёт на пластинку расходящимся пучком (рис. 14). Происхождение лучей и в новой ситуации такое же, как и двух предыдущих (рис. 12, 13). Однако теперь эти лучи не параллельны друг другу, а расходятся из точки С. Система лучей, отраженных от верхней поверхности пластинки, определяет положение одного, а система лучей, отраженных от нижней грани (аналогичных по происхождению ), - положение другого из мнимых когерентных источников. Оптическая разность хода лучей и в этом случае рассчитывается по формуле (2.30). Однако положение точки теперь определяется условием , а не , как на рис. 12.

Интерференционная картина будет иметь вид концентрических колец, центры которых совпадают с основанием перпендикуляра, опущенного из источника на верхнюю грань пластинки, на которой картина и локализована. На одном кольце будут лежать точки выхода лучей, прошедших внутри пластинки одинаковые расстояния . В силу этого обстоятельства систему полос, наблюдаемых в рассматриваемой схеме, называют полосами равной толщины.

Если - источник монохроматических волн, то в интерференционной картине чередуются светлые и темные кольца. При использовании источника белого света интерференционные полосы представляют собой радужные кольца.

Полосы равной толщины можно получить и при освещении параллельным пучком лучей клина с малым углом , изготовленного из материала с показателем преломления . Разность хода лучей и , происхождение которых ясно из рис. 15, также определяется формулой (2.30).

Получаемые в этом случае интерференционные полосы параллельны ребру клина, локализованы на его поверхности и представляют собой геометрические места точек, в которые приходят волны, прошедшие одинаковый путь внутри клина. Будут ли они радужно окрашенными или составят систему светлых и темных полос, как и ранее, определяется спектральным составом падающего излучения.

Разновидностью полос равной толщины являются кольца Ньютона, локализованные на поверхности воздушного клина с переменным углом наклона (рис. 16).

Особое место в физике и технике занимает интерференционная схема Майкельсона (рис. 17).

Именно с помощью интерферометра такого типа был впервые установлен факт исключительной важности: скорость света в направлениях вдоль и поперек земной орбиты одинакова. Интерферометрами называют приборы, использующие явление интерференции для прикладных целей.

Свет от источника параллельным пучком направляется на светоделительную пластинку (полупрозрачное зеркало) П, установленную под углом 45⁰ к оси пучка. Часть его проходит к зеркалу и, отразившись от него, снова возвращается к пластинке П, отражается от неё и идёт к наблюдателю. Та часть пучка, которая после отражения от пластинки П прошла к зеркалу , отразившись от него, проходит сквозь пластинку П к наблюдателю. Системы волн, пришедшие к наблюдателю от зеркал и , интерферируют между собой.

В этой схеме можно получить полосы равного наклона, если плоскости зеркал взаимно перпендикулярны, или полосы равной толщины, если угол между зеркалами близок, но не равен .

Обратим внимание на то, что луч 1 проходит через светоделительную пластинку П трижды, в то время как луч 2 – только один раз. Чтобы избежать большой разности хода между лучами и , по ходу луча 2 располагается компенсирующая пластинка К.

А каков смысл выражения «большая разность хода»?

Монохроматические волны являются математической идеализацией, удобной для теоретических расчетов, но не реализующейся в действительности. Для их излучения источник должен представлять собой «вечный двигатель», колеблющийся с постоянной частотой. Реальные же источники волн функционируют в течение времени, ограниченного либо желанием наблюдателя (захотел – и выключил генератор), либо физической природой процессов. Так, оптическое излучение атомов возникает при их переходе между двумя возбужденными состояниями или между возбужденным и основным состояниями. Такой переход совершается за ~ 10^-8 – 10^-10 с, время - очень малое по сравнению с вечностью. Уже по этой причине излучение атома не является монохроматическим и, в лучшем случае, может быть представлено неким «обрывком синусоиды», называемым цугом волн. Если оптическая разность хода волн, полученных из одного цуга длиной (- скорость света в вакууме), не превышает величины (), то в области интерференции имеет место суперпозиция когерентных цугов, полученных из одного исходного цуга. Если же , то в области интерференции накладываются некогерентные между собой цуги волн, излученных разными атомами, и интерференционная картина не стационарна во времени. В теории интерференции время называют временем когерентности, а расстояние - длиной когерентности излучения. Ограничения, накладываемые конечностью времени когерентности, связывают с понятием временной когерентности волн.

С увеличением разности хода от нуля до происходит постепенное понижение контрастности

интерференционной картины, что объясняется различием времен когерентности излучений цугов, испускаемых как одним элементарным излучателем (атомом), так и разными излучателями. При этом имеет место неполная корреляция хаотических изменений фаз складываемых колебаний, в связи с чем говорят об их частичной когерентности.

Помимо рассмотренной выше временной когерентности, используют понятие пространственной когерентности, характеризующей степень корреляции результатов интерференции в данной точке поля интерференции для разных точек протяженного источника.

В заключение приведем далеко не полный перечень задач, решаемых с помощью интерференционных приборов. Интерферометры применяются ля контроля правильности формы и микрогеометрии плоских, сферически и сложных поверхностей, контроля плоскопараллельности прозрачных пластин, измерения больших и малых перемещений, длины концевых мер, размеров деталей, определения длины волны излучения, показателей преломления и величины деформации прозрачных материалов, для астрономических измерений (звездные интерферометры Майкельсона и Линника) и других целей. Подробную информацию об устройстве интерферометров различного типа и методике их использования для перечисленных измерений можно найти, например, в книге Коломийцова.В. «Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение».

1. Калитеевский Н.И. Волновая оптика. – М.: Наука, 1971. – 376 с.

2. Китайгородский А.И. Фотоны и ядра. – М.: Наука, 1979. – 208 с.

3. Коломийцов Ю.В. Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение. – Л.: Машиностроение, 1976. – 296 с.

Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:

(1)

(2)

Если период равен , (3)

то (4)

Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:

получим (5)

Или (6)

Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в единицах длины. Отношение обозначается и называется волновым числом, т.е.

(7)

Например: