Теоремы теории вероятностей

Базовыми для количественной оценки различных показателей надежности являются понятия случайного события, случайной величины и случайного процесса.

Понятие случайного события.

Под событием понимается всякий факт, который в результате испытания (опыта) может произойти или не произойти [7].

События могут быть зависимые и независимые, совместные и несовместные.

Понятие случайной величины. Случайной называется величина, которая в результате испытаний может принять то или иное числовое значение в зависимости от случайного исхода испытания [7].

Понятие случайного процесса (случайной функции)

В теории случайных процессов изучаются закономерности изменения случайных величин в зависимости от изменения неслучайного параметра [7] (время, пространственные координаты и т.д.).

 

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Суммой n событий называется сложное событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.

Различают сумму несовместимых событий и сумму совместимых событий.

· Вероятность суммы n несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

где

Следствие 1. Если появление хотя бы одного из n несовместимых событий является достоверным событием, то события Ai образуют полную группу событий, для которых выполняется соотношение .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий: А и Ā (не A) равна единице:

P(A)+P(Ā)=1, или P(A) = 1– P(Ā).

· Если события А и В совместимы, вероятность суммы этих событий выражается формулой

 

                                  где АВ – произведение событий А и В –

                                  сложное событие, заключающееся в совместном

                                  появлении событий А и В (рис. 2.2).

 

 

Вероятность суммы любого числа совместимых событий вычисляется по формуле

.

 

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Произведением n событий называется сложное событие, заключающееся в совместном появлении всех n событий.

 

Вероятность произведения n независимых событий

где .

 

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется с помощью условной вероятности,  под которой в случае двух зависимых событий А₁ и А₂ понимается или вероятность события А₁, вычисленная при условии, что произошло событие А₂ ( обозначение Р (А₁/А₂)) или вероятность события А₂, вычисленная при условии, что произошло событие А₁  ( обозначение Р (А₁/А₂))

 

Р(А₁А₂)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)=Р(А₂)Р(А₁/А₂)

 

 

Соответственно для условной вероятности

В общем случае для зависимых событий вероятность произведения вычисляется по формуле

 

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

 

Служит для вычисления вероятности события А, которое осуществляется лишь при условии, что происходит одно из независимых событий В₁,В₂,…В_п, образующих полную группу. Эти события называются ГИПОТЕЗАМИ.

 

Р(А) = Р(А/В₁) Р(В₁) + Р(А/В₂) Р(В₂) +…

….+ Р(А/В_п) Р(В_п)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

 

Основные характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

 

Для непрерывной случайной величины Х вводится понятие плотности непрерывного распределения вероятности аналогично тому, как вводятся понятия плотностей вещества. Непрерывная случайная величина – погрешность измерения приборов.

 

 

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

 

Полагаем, что число испытаний n неограниченно увеличивается и одновременно уменьшается вероятность появления события, так что математическое ожидание числа появлений события, т.е. величина пр остается неизменной. Обозначая пр=а, имеем р=а/п.

Если число испытаний неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа появлений события остается постоянным и равным а, то вероятность р_п(х) биномиального распределения при каждом х=0,1,2,… стремится к пределу, который принято обозначать

.

 – математическое ожидание,

 – число испытаний,

 – число появления событий,

 

Значения π_а(х) и образуют распределение Пуассона

 

 

БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Рассматриваем случай повторения одного и того же испытания, в качестве результатов которого различаем два исхода: появление некоторого события А и не появление его, т.е. появление события Ā (не А). Такая ситуация возникает при отборе партии изделий (электрических ламп, розеток, предохранителей и т.п. элементов схем освещения) на складе для последующего монтажа. Поскольку в складском объеме изделий имеются исправные и брачные изделия, то при отборе реализуются события двух типов или осуществляется отбор исправного изделия (событие А) или брачного (событие Ā). Вероятности появления этих событий различны Р(А)=р, Р(Ā)=q=1 – р, т.к. они образуют полную группу Р(А + Ā)=1.

В сложном событии, когда отбирается партия из n изделий, возможны 2ⁿ различных исхода, определяемые сочетаниями элементарных исходов А и Ā. Вероятность х раз наблюдать событие А в течение n испытаний имеет вид [7]

.

Совокупность вероятностей  при х = 0,1,2,..n,  (0),  (1),…  (n) называется биноминальным распределением вероятностей. Причем

Часто нужно вычислить вероятность того, что событие А встретится не более чем х раз в n испытаниях, т.е. 0, или 1, или 2, или…, или х раз. Эта вероятность называется кумулятивной (накопленной) вероятностью биноминального распределения и обозначается символом Р_п(х) [7]:

 

Вероятности того, что в п последовательных испытаниях события вида Ai (i=1‚2,…) произойдут ровно х раз, подсчитываются при перемножении биномов (р_кξ+q_к). После приведения подобных членов коэффициенты при ξ^х дают вероятности р_п(х). Переменная ξ при этих вычислениях имеет вспомогательный характер.

Понятно, что при вычислении вероятностей событий , следует использовать формулу с множителем ξ у вероятности события Ā:

 

 

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

При рассмотрении биноминального распределения вероятностей и применении его к задаче об отборе партии изделий, предполагалось, что количество изделий на складе так велико, что, отбирая часть изделий из общего объема, мы не изменяем ни величины последнего, ни условий отбора (задача о выборке с возвращением в объем). При отборе из некоторого конечного объема изделий соизмеримой с ним партии изделий условия отбора и сам объем изменяются (задача о выборке без возвращения). Задача о вероятности того, что число изделий, обладающих признаком А, в выборке объема п будет равно x (0≤x≤n) решается на основе гипергеометрического распределения [7].

Полагая, что отбор осуществляется из совокупности N изделий, в которой содержится М изделий с признаком А, имеем М/N=р;для вероятности случайного события – отбора в партии из n изделий х изделий с признаком А – имеем формулу [7]

.

Для расчетов p_NM(n ٫ x) целесообразно использовать рекуррентное соотношение между соседними членами (2.17):

определяя значение p_NM(n ٫0 ) для х=0 по формуле

 

 

РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ

УЕДИНЕННОГО ЭЛЕМЕНТА

В ПОТОКЕ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ

 

«0» – неработоспособное состояние        

«1» – работоспособное состояние                .

Заданными являются – начальные значения, удовлетворяющие условию .

 

Для решения уравнений используем операторный метод в варианте, основанном на преобразовании Лапласа. Комплексная переменная в изображениях искомых функций обозначаем через s

,

 

а система для этих функций имеет вид

Решая данные уравнения, получаем

; .

Соответствующие функции времени находим по теореме разложения, используя формулу

.

для случая, когда знаменатель функций  и  имеет корень s=0. Находим

При  (практически при ) наступает стационарный режим работы объекта с финальными вероятностями

,

причем вероятность .

В предельных режимах  (мгновенное восстановление или замена) и (объект после отказа не восстанавливается) имеем соответственно

.

 

1. Слышалов, В.К. Тышкевич И.В. Основы расчета надежности систем электроснабжения. – Уч. пособие. Иваново.: Ивановский государственный энергетический университет, 2007, –78 с.

2. Слышалов В.К., Чекан Г.В. Основы расчета надежности электро-энергетических систем. – Иваново, ИГЭУ, 2011 – 120 с.

3. В.К. Слышалов. Основы расчета надежности систем электроснабжения. Конспект лекций для студентов специальностей 140205 и 140211 факультета заочного обучения.

4. ГОСТ 27.002 – 89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения.

5. ГОСТ 27.003 – 90. Надежность в технике. Состав и общие правила требований по надежности.

6. ГОСТ 27.301 – 95. Надежность в технике. Расчет надежности. Основные положения.

7. ГОСТ 27.310 – 95. Надежность в технике. Анализ видов, последствий и критичности отказов. Основные положения.

8. ГОСТ Р27.001 – 2009. Надежность в технике. Система управления надежностью. Основные положения.

9. ГОСТ Р27.004 – 2009. Надежность в технике. Модели отказов.