Элементы симметрии бесконечных фигур

Структуры кристаллов схематично можно представить себе состоящими из параллельно ориентированных правильных параллелепипедов. Они образуют в кристаллической структуре бесконечные пространственные фигуры, которые характеризуются не только элементами симметрии, перечисленными для конечных фигур, но также обладают дополнительными элементами, возможными только в бесконечных фигурах. Этими элементами являются: трансляции, плоскости скользящего отражения и винтовые оси. При описании кристаллических структур все эти элементы симметрии бесконечных фигур принято давать в обозначениях международной символики.

1. Трансляция представляет собой бесконечно повторяющийся параллельный перенос на определенное расстояние, называемое шагом поступания или периодом трансляции. Этот элемент симметрии в комбинации с известными ранее может образовывать новые элементы симметрии.

2. Плоскость скользящего отражения ¾ это совокупность действующих одновременно плоскости симметрии и параллельной ей трансляции на величину, равную половине периода трансляции. Симметрию, которой обладают фигуры с плоскостями скользящего отражения, иногда называют трансляционно-зеркальной.

Различают пять типов плоскостей скользящего отраженияь a, b, c, n, и d. Первые три плоскости скользящего отражения a, b, c действуют вдоль кристаллографических осейX, Y и Z. Их изображают пунктирными линиями, а величина скольжения вдоль кристаллографических осей составляет соответственно a/2, b/2 и c/2. Пример плоскости скользящего отражения представляет шахматная доска. Чтобы совместить белый квадрат с другим белым квадратом на соседней вертикальной лини линии, необходимо перенести первый квадрат на место, расположенного под ним черного квадрата (половина трасляции) и только затем отразить в плоскости симметрии проходящей перпендикулярно доске вдоль линии раздела квадратов. Трансляция здесь равно длине двух сторон квадрата.

Четвертый тип плоскостей скользящего отражения ¾ плоскость типа n или клиноплоскость. Она представляет собой плоскость скользящего отражения, действующей вдоль диагонали параллелограмма, построенного на элементарных трансляциях, лежащих в этой плоскости. Величина скольжения этой плоскости равна 1/2 длины диагонали. Клиноплоскости обнаруживаются в объемно-центрированной кубической решетке. На рис. 1.23 показана схема этой решетки и ее прекция на кубическую грань. На проекции значок 1/2 означает, что узел в центре находится над плоскостью чертежа на расстоянии с/2. Узел в вершине ячейки можно совместить с узлом в центре, если одновременно осуществить два действия: а) отражение в плоскости n (обозначена штрихпунктирной линией), нормальной к плоскости чертежа и б) скольжение в этой плоскости на величину (a + c)/2..

Рис. 1.23. Объемно-центрированная кубическая ячейка (а) и ее проекция на плоскость (001) (б)

На проекции штрихпунктирной линией показаны клиноплоскости n

Плоскость скользящего отражения типа d действует в направлении по диагонали параллелограмма, построенного на элементарных трансляциях, лежащих в этой плоскости, а величина переноса составляет 1/4 этой диагонали. Плоскости этого типа обнаруживаются только в гранецентрированных кубических решетках и являются характерными для элементарной ячейки алмаза. По этой причине плоскость часто называют «алмазной» и обозначают буквой d (от английского слова “diamond”). На чертежах алмазные плоскости изображаются штрихпунктирными линиями, на которых ставятся значки, указывающие направление скольжения.

Плоскость скользящего отражения типа d будет подробно рассмотрена при обсуждении кристаллической структуры алмаза (см. раздел).

Для демонстрации отличия между операциями с помощью обычной плоскости симметрии и плоскостей скользящего отражения на рис. 24. даны сравнительные примеры симметричных преобразований производимыми всеми этими плоскостями. При отражении в плоскости скользящего отражения a (или b), перпендикулярной плоскости чертежа, фигурка в виде запятой перемещается в плоскости чертежа на период трансляции a/2 (или b/2). При отражении в плоскости с фигурка перемещается на период трансляции с/2 вдоль плоскости с (по оси Z). Чтобы показать, что фигурка расположена на высоте с /2 (с /4, 3 c /4) над плоскостью чертежа, около нее ставится обозначение ½ (1/4, ¾).

Рис. 1.24. Действие плоскости симметрии m и плоскостей скользящего отражения a, b, c, d, n

3. Винтовая ось симметрии представлет собой комбинацию действующих совместно оси симметрии и параллельной ей трансляции. Например, круглый винт обладает винтовой осью симметрии бесконечного порядка. Эту аналогию можно продолжить. Существуют винты с правой и левой резьбой. Аналогичго этому, различают правые и левые винтовые оси. Если смотреть по направлению трансляции то для правой винтовые оси вращение производится по часовой стрелке, для левой ¾ против часовой стрелки.

При описании кристаллических структур винтовые оси обозначаются цифрами с подстрочными индексами. Цифра указывает порядок оси симметрии. Частное от деления индекса на большую цифру дает величину переноса вдоль оси, выраженную через часть элементарной трансляции вдоль этой оси. Например, 3₁ (3₂) означает совместное действие тройной оси симметрии и параллельного ей переноса на 1/3 (2/3) трансляции вдоль этой оси при повороте на элементарный угол 120⁰ (угол 240⁰).

Поворот может быть по часовой стрелке или против нее; соответственно различают правые и левые винтовые оси. Винтовые оси изображаются на чертеже как поворотные, но с дополнительными черточками, означающими направление поворота (рис. 1. 25). Как следует из этого чертежа действие правой поворотной оси 3₁ эквивалентно действию левой поворотной оси 3₂ и наоборот.

                                                                     3₁ - правая     3₂ - правая

                                                                     3₂ - левая       3₁ - левая

Рис. 1.25. Действие поворотной оси симметрии 3 и винтовых осей симметрии 3₁ и 3₂

Рассматривая элементы симметрии конечных фигур во всем их структурном многообразии (в том числе, превращая целиком или частично зеркальные плоскости и поворотные оси симметрии в плоскости скользящего отражения и винтовые оси), а также прибавляя соответствующие группы трансляций (решетки Бравэ), переходим от 32 точечных групп симметрии к пространственным группам симметрии - совокупности элементов симметрии для кристаллических структур.

Идея о роли элементов симметрии с участием трансляций была впервые высказана немецким физиком Л Зонке. В развитие идеи Бравэ он использовал винтовые оси и вывел 65 возможных способов закономерного распределения структурных единиц в пространстве.

Полный вывод этих пространственных групп симметрии впервые осуществил в 1890 г. Е.С.Федоров. К такому же результату несколько позднее пришел немецкий математик из Кенигсберга А Шенфлис. 

В международных символах пространственных групп на первом месте стоит обозначение решетки Бравэ, далее совокупность порождающих элементов симметрии, разновидностью которой является данная пространственная группа.