IV. Короткі теоретичні відомості

Гармонічними називаються коливання, які відбуваються за законом синуса або косинуса. Найпростішою моделлю, що здійснює гармонічні коливання, є гармонічний осцилятор. Це є закріплена на пружині кулька, яка рухається без тертя, причому вважається, що вся маса осцилятора зосереджена в кульці, а вся пружність (деформаційна здатність) зосереджена в пружині. Гармонічні коливання осцилятора відбуваються під впливом пружної сили, яка лінійно залежить від зміщення

. (6.1)

Тоді, згідно другого закону Ньютона (), рівняння руху гармонічного осцилятора вздовж напрямку х записується у вигляді:

(6.2) або . (6.2a)

Це є диференціальне рівняння (другого порядку), розв’язок якого знаходиться у вигляді рівняння синусоїдальних або косинусоїдальних коливань, наприклад x (t)= A cos(w₀ t +j), де w₀ – частота цих коливань. Після підстановки цього рівняння і його другої похідної в рівняння (6.2а) знайдемо, що – це є так звана циклічна частота власних коливань гармонічного осцилятора (або пружинного маятника – невагомої пружини жорсткості k з кулькою, маса якої т), тобто коефіцієнт перед х у (6.2а) дорівнює . Частота коливань n (кількість коливань за одну секунду) зв’язана з циклічною частотою w₀ співвідношенням: w₀=2pn.

Математичний маятник також здійснює гармонічні коливання у випадку малих кутів відхилення. Під математичним маятником розуміють невелике тіло (матеріальну точку), підвішене на довгій нерозтяжній і невагомій нитці (такій, що розмірами тіла можна знехтувати порівняно з довжиною нитки ). У фізичному експерименті, для зменшення сили опору повітря при русі тіла, на нитці (або дротині) підвішують металеву кульку (рис.6.1). Покажемо, що рівняння руху математичного маятника має вигляд, аналогічний (6.2а).

Рис. 6.1

Рух кульки відбувається під дією результуючої двох сил . Вектор сили (також і вектор швидкості) напрямлений по дотичній до траєкторії руху, тобто до дуги кола, радіус якого , а отже є перпендикулярним до нього. Тому момент сили відносно осі, що проходить через точку підвісу, дорівнює

. (6.3)

Використаємо рівняння обертового руху (рівняння моментів), згідно якого

, (6.4)

де N – момент імпульсу, J – момент інерції маятника відносно осі обертання, який для точкового тіла дорівнює . Кутова швидкість , прирівнюючи вирази (6.4) і (6.3) одержуємо рівняння

, (6.5)

яке при малих кутах відхилення маятника, коли , набирає вигляду

або , (6.6)

тобто аналогічно рівнянням (6.2). Знак “мінус” взятий через те, що момент сили тяжіння надає маятнику кутового прискорення, зворотного кутовому відхиленню. Це рівняння показує, що j (або х) повинні бути такою функцією часу t, щоб друга похідна від цієї функції в будь-який момент дорівнювала самій функції, помноженій на величину (або ), тобто на . Отже, якщо зміна якоїсь фізичної величини описується рівнянням, аналогічним (6.2), значить вона здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою w₀. В даному випадку зміна кута з часом описується рівнянням , де частота коливань , а період коливань

. (6.7)

Наявність сили тертя опору повітря при русі кульки приводить до зменшення амплітуди коливання: енергія маятника витрачається на роботу сили тертя і в кінцевому випадку розсіюється як теплова енергія в навколишнє середовище, тобто зростає енергія теплового руху навколишніх молекул повітря. Коливання стають затухаючими.

Приймається, що сила тертя пропорційна швидкості кульки F _т= –a v, (a – коефіцієнт опору), тому диференціальне рівняння коливного руху вздовж напрямку х приймає вигляд (у рівнянні (6.2) з’являється сила тертя, а у рівнянні (6.5) – момент сили тертя М _т= ℓ ×a v = ℓ ²aw):

(). (6.8)

Розв’язком цього рівняння є функція (дивись рис. 6.2)

Рис. 6.2

. (6.9)

– амплітуда коливань, яка зменшується з часом за експоненціальним законом з показником затухання ,
А ₀ – початкова амплітуда.

Циклічна частота затухаючих коливань w менша за циклічну частоту власних коливань w₀ (не затухаючих) і визначається за формулою:

; . (6.10)

Логарифмічним декрементом затухання q називається натуральний логарифм відношення двох амплітуд, взятих через період Т. Він зв’язаний з величинами b і a співвідношенням:

. (6.11)

Якщо зробити заміну b=1/t, то формула для амплітуди затухаючих коливань запишеться у вигляді , де t - так званий “характеристичний час” або час релаксації – час за який амплітуда коливань зменшиться в е» 2,718 раз (це видно, якщо прирівняти t = t). Отже добуток bt = 1, і тоді q = Т /t = 1/ N _e, де N _e – кількість коливань, через які амплітуда зменшиться в е раз.

V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ

Лабораторна робота виконується на установці, яка устаткована автоматичним фіксуванням часу коливань і числа повних коливань за допомогою універсального секундоміра РМ-14 і фотоелектричного датчика (див.рис.7.2). На передній стінці установки є три кнопки “СЕТЬ”, “СТОП”, “СБРОС”: “СЕТЬ” – вмикач мережі. Натиснувши на цю кнопку, вмикаємо джерело струму. Візуально це супроводжується свіченням цифрових індикаторів і лампочки фотоелектричного датчика. “СБРОС” – встановлення нуля вимірювача. Натиск цієї кнопки викликає скид показів секундоміра і генерацію сигналу дозволу на вимірювання. “СТОП” – закінчення вимірювання.

При допомозі двох кронштейнів, нижній із яких містить фотодатчик, регулюється довжина нитки маятника. При малій амплітуді коливань маятника його період визначається за формулою (6.7), де - довжина маятника, яка вираховується за формулою (L – довжина нитки, d – діаметр кульки) або вимірюється безпосередньо лінійкою від точки підвісу до центру кульки. Робоча формула для обчислення прискорення сили земного тяжіння є такою: