Признак перпендикулярности плоскостей

Пусть, прямая ОА перпендикулярна плоскости β и ОА лежит в плоскости α. Тогда плоскости α и β перпендикулярны.

Следствие из признака

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β.

Доказательство

Прямая l перпендикулярна плоскости γ по условию, но плоскость α проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Плоскость β также проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости β. Следствие доказано.

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

Свойство

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рассмотрим рисунок. Мы имеем плоскость α и плоскость β. Они пересекаются по прямой l. Из точки О проводим прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α. Из точки О в плоскости β проводим вторую прямую ВО перпендикулярно к ребру l. Получаем линейный угол двугранного угла – угол ВОА. Обозначим плоскость ВОА за γ.

Тогда, плоскость линейного угла γ перпендикулярна прямой l, так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО из плоскости γ по построению. Также через перпендикуляр l к плоскости γ проходит плоскость α, значит, по признаку α ⊥ γ. Аналогично, β ⊥ γ.

Задача 2

Найти углы двугранного угла ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, АС = СВ = 5 DВ = .

Дано: АВСD – тетраэдр.

∠ DАВ = ∠ DАС = ∠ АСВ = 90°.

АС = СВ = 5, DВ = .

Найти: ∠ (АВСD)

Решение:

1.Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.

2.Тогда АС - это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.

3.Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.