2018-03-09
134
Двугранный угол
Двухгранный угол - это фигура, образованная прямой l и двумя полуплоскостями с общей границей l.
Обозначение. Двугранный угол записывают так: ∠ АMNВ.
MN - общая граница. Точка А лежит в одной полуплоскости α и точка В лежит в другой полуплоскости β.
Линейный угол двугранного угла АMNВ строится следующим образом: выбирается точка О на общей границе l. Проводится перпендикуляр ОА кпрямой l в плоскости α. Проводится перпендикуляр ОВ к l в плоскости β. Полученный угол АОВ является линейным углом двугранного угла, где АО ⊥ l, ВО ⊥ l.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом.
Свойство
Плоскость линейного угла и прямая l перпендикулярны. l ⊥ АОВ
Доказательство
Так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО, то прямая l перпендикулярна плоскости АОВ.
Задача 1
Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.
Дано: ∠ САВD = 120°,
АС ⊥ АВ, АС ⊂ α,
BD ⊥ АВ, BD ⊂ β,
АВ = АС = ВD = а.
Найти: СD.
Решение:
1. Двугранный угол∠ САВD = 120°. АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.
Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ. Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠ САК = 120°.
2.Так как прямые АК и ВD перпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK ∥ BD, AB ∥ DK), значит, АКВD – параллелограмм. Значит, АК=BD = а.
3. Рассмотрим треугольник АКС. Найдем 
с помощью теоремы косинусов:
4. Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DК перпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая DК перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.
Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.
Ответ: 2а.
Перпендикулярность плоскостей
Определение. Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Имеем плоскости α и β, которые образуют двугранный угол. l – ребро двугранного угла. Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку О на ребре l. Проведем прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α и прямую ВО перпендикулярно ребру l в плоскости β. Тогда, ∠ ВОА – линейный угол двугранного угла. Если ∠ ВОА =90°, то плоскости α и β перпендикулярны.
