Решение типовых примеров

Пример 7. Вычислить площадь треугольника АВС, если А (1, 3, 5),

В (3, 4, 0) и С (-2, 1,2).

Решение. Найдем координаты векторов  и :  и .

Определим векторное произведение :

Площадь треугольника определяется по формуле: .

Вычислим длину векторного произведения:

, тогда площадь треугольника равна:  (ед. кв.).

    Ответ.  (кв. ед.).

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить площадь треугольника АВС.

6.1 А (-1, 0, 2),      В (0, -1, 2),      С (3, -4, 5).

6.2 А (0, -3, 6),      В (1, 4, 9),       С (-9, -3, -6).

6.3 А (3, 3, -1),      В (5, 5, -2),      С (-3, 1, 0).

6.4 А (6, 8, 0),       В (3, 4, -6),      С (1, 1, -1).

6.5 А (-4, -2, 0),     В (-2, -1, 3),     С (3, -2, 1).

6.6 А (5, 3, -1),      В (0, -2, 4),      С (6, 4, -1).

6.7 А (6, -2, 1),      В (0, -1, -2),     С (-1, 4, 3).

6.8 А (2, -4, 6),      В (0, -2, 4),      С (-4, 0, 1).

6.9 А (0, 1, -2),      В (3, 2, 3),       С (4, 1, 1).

6.10 А (-1, 3, 3),      В (1, 5, -2),      С (4, 1, 1).

6.11 А (2, 1, -1),      В (6, -1, -4),     С (2, -1, 3).

6.12 А (-1, -2, 1),     В (4, -1,0),      С (-8, -2, 2).

6.13 А (-2, 0, 1),      В (6, 3, -2),      С (7, 3, -3).

6.14 А (0, 0, 4),       В (6, 1, 4),       С (-5, -10, -1).

6.15 А (2, -8, -1),     В (4, -6, 0),      С (4, -3, 1).

6.16 А (1, 4, -2),      В (0, -3, 6),      С (9, -12, 15).

6.17 А (0, 2, -4),      В (-3, 2, 1),      С (6, 2, 4).

6.18 А (3, 3, -1),      В (5, 1, -2),      С (1, -3, 2).

6.19 А (-4, 3, 0),      В (0, 1, 3),       С (6, -2, 0).

6.20 А (1, -4, 2),      В (-2, -1, 4),     С (8, -1, -1).

6.21 А (7, 0, 2),       В (3, 4, 1),       С (-6,1,3).

6.22 А (1, 0, -4),      В (-1, -3, -1),   С (-3, -7, -3).

6.23 А (2, 2, 7),       В (0, 0, 6),       С (-2, 1, 0).

6.24 А (3, 0, -2),      В (0, 1, -2),      С (-3, 4, -5).

6.25 А (0, 3, -6),      В (-1, 4, 3),      С (12, 3, 3).

6.26 А (3, 2, -3),      В (5, 1, -1),      С (3, 0, -4).

6.27 А (-1, -2, 4),     В (3, 1, -1),      С (3, -2, 1).

6.28 А (1, 2, 1),       В (3, -1, 7),      С (4, -3, 1).

6.29 А (3, -2, 1),      В (3, -1, 2),      С (-1, 0, -5).

6.30 А (-3, -1, 3),     В (4, 0, 1),       С (-1, 0, 5).

Задание № 7

 

Смешанное произведение

 

Смешанным произведением векторов ,  и  называется скалярное произведение вектора  на вектор , то есть .

Тройка некомпланарных векторов ,  и  называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены в общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Смешанное произведение трех векторов , ,  по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы ,  и  расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка векторов называется левой.