Интегрирование иррациональностей

Если в подынтегральной функции присутствует корень какого-то порядка , то есть , то замена  позволяет полностью избавиться от корней в выражении и свести к рациональной дроби. 

Из   следует , , то есть как видим, пересчёт дифференциала при замене тоже не добавляет ничего, кроме константы и целой степени от .

Рассмотрим сразу более общий случай: если функция содержит несколько корней разного порядка, т.е. .

Тогда нужна замена на корень порядка r = НОК (r₁,...,r_k).

r это наименьшее общее кратное всех порядков, которые там есть.

Именно тогда все корни перейдут в целые степени от . Так, к примеру, если , то НОК = 6. Замена: , тогда: , . Каждый корень становится целой степенью от : 

 = ,

 = .

В общем случае степень равна , то есть, какого множителя не хватает до наименьшего общего кратного, такая степень от  и получится.

Рассмотрим на примере, содержащем 3 разных корня.

Пример Вычислить интеграл .

НОК (2,3,5) = 30. Поэтому замена .

Тогда . Дополняющий множитель до НОК для числа 5 как раз и есть 6, ведь НОК = 30.

Другие корни пересчитываются аналогично:

, 

.

Надо ещё пересчитать дифференциал для новой переменной :  

.

Теперь подставим всё это в интеграл.

 =  =  =

=  =  , и после обратной замены:

.

 

Если  т.е. под корнем некоторое линейное выражение, то решается практически так же, замена , где r это тоже наименьшее общее кратное. Более сложная ситуация, когда под корнем разные линейные функции.

Например,  и . Если один корень заменить на t, , то , тогда . Такие будут рассмотрены позже, они решаются с помощью тригонометрических функций.

 

Если интеграл вида   (r - целое число), то замена  сводят к рациональной дроби от t. Докажем этот факт:

(ДОК 3)

Доказать, что интеграл вида    сводятся к рациональной дроби с помощью замены .

  то есть  выражено в виде рациональной дроби от , содержащей только целые степени.

Дифференциал тоже выразится в виде рациональной дроби:

 =  =

.