2018-03-09
81
Рассматриваются интегралы типа 
. Если есть ещё и зависимость от 
или 
, то всё равно их можно записать через синус и косинус, поэтому можем считать, что вид именно такой: именно
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Замена 
называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она иногда приводит к громозким вычислениям, зато универсальна. При этой замене:
, 
, 
, 
.
(ДОК 4)
Доказать, что при замене синус и косинус преобразуются по следующим формулам: , .
Можно 
записать по формуле двойного угла, рассматриввая целый угол как удвоенный половинный:
= 
= 
чтобы всё выразилось через 
, которое равно желательно добиться того, чтобы синус и косинус половинного угла делились друг на друга. Для этого мы можем поделить и домножить на косинус ещё раз:
= 
= 
.
Вспомним, что 
, тогда далее получается
= 
.
Аналогично 
= 
= 
=
= 
= 
.
Пример. Вычислить интеграл. 
.
Решение. = 
.
Свели к рациональной дроби. Далее, преобразуем её: 
= 
= 
= 
.
Сделаем обратную замену, и получим ответ:
|
|
|
= 
.
Примечание. Можно сделать проверку: 
= 
, учтём, что по формуле понижения степени: 
, здесь 
, поэтому = 
= 
.
