Система шифрования Цезаря

Рассматривая алфавит криптосистемы как множество целых Z_m, мы мо­жем записать функцию шифрования Е _k для k =3 в простом шифре Цезаря как

Е _k: x → (x + 3) mod m,   " x Î Z_m,

где x – числовой код буквы открытого текста; x+ 3 – числовой код соответствующей буквы шифртекста. О сложении по модулю см. в приложении П.5.

В отличие от шифра Цезаря система шифрования Цезаря образуется множеством одноалфавитных подстановок, определяемых функциями шифрования Е _k для различных значений ключа k, причем 0 £ k < m, где m –основание алфавита.

В соответствии с этой системой буква x Î Z_m открытого текста преобразуется в букву y Î Z_m шифртекста согласно следующему правилу:

Е _k: y = (x + k) mod m,

где x – числовой код буквы открытого текста; y – числовой код соот­ветствующей буквы шифртекста.

Концепция, заложенная в систему шифрования Цезаря, оказалась весьма плодотворной, о чем свидетельствуют ее многочисленные модификации.

В системе шифрования Цезаря использовались только аддитивные свойства множества целых Z_m, то есть оно рассматривалось как группа с операцией сложения. Рассматривая множество целых чисел Z_m с двумя операциями сложения и умножения по модулю m, являющееся кольцом, можно получить систему подстановок, которую называют аффинной системой шифрования Цезаря.

Определим в такой системе преобразование Е _a,b: Z_m → Z_m:

Е _a,b (x) = ax+b mod m,

где в качестве ключа k =(a, b)используется пара целых чисел, удовлетворя­ющих условиям     0 £ a,b < m, и НОД(а,m)=1.

В данном преобразовании буква, соответствующая числу x в открытом тексте, заменяется на букву шифртекста, соответствующую числовому значению

y = (ax +b) mod m

(например при m =26 в латинском алфавите).

Следует заметить, что преобразование Е _a,b (x) является взаимно однозначным отображением на множестве Z_m только в том случае, если НОД(а, m) = 1, т.е. а и m должны быть взаимно простыми числами.

Это условие взаимной простоты необходимо для обеспечения инъективнос­ти отображения

Е _a,b (x) = ax+b mod m.

Если оно не выполняется, возможна ситуация, когда две разные буквы отображаются в одну (возникает неоднозначность дешифрования), а некоторые буквы отсутствуют в шифртексте, так как никакие буквы в них не отображаются.

Аффинная система шифрования относится к классу шифров, осно­ванных на аналитических преобразованиях шифруемых данных. Достоин­ством аффинной системы является удобное управление ключами – ключи шифрования и дешифрования представляются в компак­тной форме в виде пары чисел (а, b). По сравнению с простой системой шифрования Цезаря количество возможных ключей значительно больше, и алфавитный порядок слов при шифровании не сохраняется.

Аффинная система использовалась на практике несколько веков назад, а сегодня ее применение ограничивается большей частью иллюстра­циями основных криптологических положений.