УЭ-5. Тригонометрические тождества

Тригонометрия.

Математика есть такая наука, которая

показывает, как из знаемых количеств

находить другие, нам ещё неизвестные.

Д.С. Аничков

Уважаемый студент! Вы приступаете к изучению Модуля №7 «Тригонометрия».

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии. Весьма точно предсказывали затмения еще древне-вавилонские ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Гиппарх. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии.(Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями/

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и прочих.

В результате изучения модуля №7 «Тригонометрия» Вы должны знать понимать и уметь:

о формулах синуса, косинуса, тангенса суммы и разности аргумента,
о формулах двойного аргумента, формулах половинного угла;
О формулах понижения степени;

· Преобразовывать формулы произведения тригонометрических функций в сумму;

· преобразовывать суммы тригонометрических функций в произведение;

· простые тригонометрические выражения; объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах;

· преобразовывать простейшие тригонометрические выражения;

· знать формулу перехода от суммы двух функций с различными коэффициентами в одну из тригонометрических функцию;

· знать частный случай метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений.

иметь представления о числовой окружности, о числовой окружности на координатной плоскости;
находить значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса на числовой окружности;
применять тригонометрические функции числового аргумента, при преобразовании тригонометрических выражений;

УЭ-5. Тригонометрические тождества.

Задача 1. Доказать, что при , справедливо равенство

. (1)

По определению , и поэтому

Эти преобразования верны, так как при .

Равенство (1) справедливо для всех допустимых значений , т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Обычно при доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении выражений допустимые значения углов не устанавливают, если это не требуется в условии задачи.

Задача 2. Доказать тождество