Билет 22. Линеаризующие преобразования (для функций, нелинейных по факторам и для функций, нелинейных по параметрам)

Для того, чтобы оценить неизвестные параметры β0, …, βn нелинейной регрессионной модели, необходимо привести ее к линейному виду. Суть линеаризации нелинейных по независимым переменным (факорам) регрессионных моделей заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные. В общем случае полиномиальной регрессии процесс замены нелинейных переменных функции п-го порядка выглядит следующим образом: x = с1,; х2 = c2; xЗ = с3;...; xп = cп.

Тогда уравнение множественной нелинейной регрессии можно записать в виде линейного множественного регрессионного уравнения

yi = β0 + β1xi + β2x2i + … +βnxni + εi =>

=>yi = β0 + β1c1i + β2c2i + … +βncni + εi

Гиперболическую функцию также можно привести к линейному виду с помощью замены нелинейной факторной переменной на линейную. Пусть 1/х = с. Тогда исходное уравнение гиперболической функции можно записать в преобразованном виде:

yi = β0 + β1 / xi + εi =>yi = β0 + β1сi + εi

Таким образом, и полиномиальную функцию любой степени, и гиперболоид можно свести к модели линейной регрессии, что позволяет применять к преобразованной модели традиционные методы нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии (например, классический МНК) и стандартные методы проверки различных гипотез.

Ко второму классу нелинейных моделей относятся регрессионные модели, в которых результативная переменная yi нелинейно связана с параметрами уравнения β0,…, βn. К такому типу регрессионных моделей относятся:

1) степенная функция

yi = β0 · x i β1 · εi

2) показательная функция

yi = β0 · β1xi · εi

3) логарифмическая парабола

yi = β0 · β1xi · β2xi · εi2

4) экспоненциальная функция

yi = e β0+β1xi · εi

5) обратная функция

и другие.

Нелинейные по параметрам регрессионные модели в свою очередь делятся на модели подлежащие линеаризации (внутренне линейные функции) и неподлежащие линеаризации (внутренне нелинейные функции). Примером моделей, которые можно свести к линейной форме, является показательная функция вида yi = β0 · β1xi · εi, где случайная ошибка εiмультипликативно связана с факторным признаком xi. Данная модель нелинейна по параметру β1. Для ее линеаризации вначале осуществим процесс логарифмирования:

lnyi = ln β0 + xi ·ln β1 + lnεi

Затем воспользуемся методом замен. Пусть lnyi = Yi; ln β0 = А; ln β1 =В; lnεi =Еi.

Тогда преобразованная показательная функция имеет следующий вид:

Yi = А + В xi + Еi.

Следовательно, показательная функция yi = β0 · β1xi · εi является внутренне линейной, и оценки ее параметров могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов.

Если же взять показательную функцию, включающую случайную ошибку εi аддитивно, т.е. yi = β0 · β1xi+ εi, то данную модель уже невозможно привести к линейному виду с помощью логарифмирования. Она является внутренне нелинейной.

Пусть задана степенная функция вида yi = β0 · x i β1 · εi. Прологарифмируем обе части уравнения:

lnyi = ln β0 + β1·ln xi + lnεi

Теперь воспользуемся методом замен: lnyi = Yi; ln β0 = А; lnxi =Xi; lnεi = Еi.

Тогда преобразованная степенная функция имеет следующий вид:

Yi = А + β1 Xi + Еi.

Степенная функция также является внутренне линейной и ее оценки можно найти с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Но если взять степенную функцию; виде уравнения yi = β0 · x i β1+ εi, где случайная ошибка аддитивно связана с факторной переменной, то модель становится внутренне нелинейной.