Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (НИУ ИТМО)

Санкт-Петербург

2013

В 2013 г. студенческая олимпиада Северо-Запада России по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (НИУ ИТМО). Каждый вуз мог выставить одну команду из трех человек (в командный зачет входили все участники команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату его команды.

Олимпиада проводилась в воскресенье 19 мая 2013 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.

Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО, проф., д.т.н. Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М. доц., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С, доц., к.т.н. Блинова И.В., асс., к.ф.-м.н. Трифанов А.И.,

Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С, к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс., к.ф.-м.н. Трифанов А.И., асс. Петтай П.П.

Задачи студенческой математической олимпиады Северо-Запада России

Мая 2013 года

1. Верно ли, что для любой непрерывной на функции найдутся такие непрерывные функции , что для всех вещественных x выполнено:

2. Найти функцию , если известно, что , , , .

3. а) Существует ли полином с вещественными коэффициентами такой, что для любого натурального k?

б) Существует ли полином с вещественными коэффициентами такой, что для любого натурального k?

4. Найти расстояние по поверхности между городами Санкт-Петербург (северная широта , восточная долгота ) и Ханчжоу (Китай) (северная широта , восточная долгота ). Землю считать шаром радиуса км.,

6. Вектор разрешается умножать слева на любую из трех матриц

, , сколько угодно раз в произвольном порядке (например, можно получить вектор ). Можно ли из вектора с помощью таких преобразований получить вектор ?

7. Сходится или расходится следующий интеграл: ?

8. Доказать, что любое решение дифференциального уравнения ограничено.

9. Известно, что члены последовательности удовлетворяют условию для любых . Показать, что – неограниченная последовательность.

10. Последовательность задана рекуррентно: , , , . Найти сумму ряда .

11. Пусть и - две матрицы с целыми элементами такие, что матрицы , , , … обратимы и у их обратных матриц все элементы целые. Показать, что также обратима и все элементы ее обратной матрицы целые.

12. Пусть - непрерывная функция ,

, , … , .Найти .

Решения задач

1. Да. Например,

2. Из выражения для из условия следует , откуда находим , . Сравнивая выражения для из условия с найденным, заключаем, что , т.е. . Используя начальные условия, находим, что . Поэтому окончательно получаем .

3. а) Да. .

б) Нет. Допустим, такой полином существует. Определим полином : .

Тогда для всех .

Значит, полином имеет бесконечно много корней. Следовательно, он тождественно равен нулю: . Значит, для всех x, .

Противоречие, т.к. это не полином.

4. , , , где - долгота, - широта (отсчет от экватора, т.е. от плоскости ). Расстояние между городами равно длине дуги большого круга , т.е. , где , O - центр Земли, - ее радиус. Имеем , . .

Так как , , . Следовательно, , т.е. .

Ответ: (км.).

5. Могут ли функции быть на различными частными решениями одного и того же линейного однородного дифференциального уравнения 2013 порядка с непрерывными коэффициентами и положительным коэффициентом при старшей производной?

5. Нет. Линейная комбинация решений есть решение. Если данный набор – решения, то решениями будут и . Вронскиан этой системы 2013 функций равен

Однако вронскиан n решений линейного дифференциального уравнения n -ого порядка либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль ни в одной точке. Противоречие.

Замечание. Можно непосредственно искать коэффициенты уравнения, последовательно подставляя данные функции, и тоже прийти к противоречию.

6. ,

следовательно, оператор умножения на матрицу поворачивает любой вектор на угол вокруг оси аппликат и растягивает его в 3 раза. Аналогично,

т.е. умножение на матрицу поворачивает любой вектор на угол вокруг оси ординат и сжимает его в 2 раза. Аналогично,

т.е. умножение на матрицу поворачивает любой вектор на угол вокруг оси ординат и растягивает его в 3 раза.

С помощью композиции таких преобразований мы можем растянуть вектор в раз и сжать его в раз. Квадрат длины вектора , квадрат длины вектора . Таким образом, необходимым условием возможности преобразования вектора в вектор является разрешимость в целых неотрицательных числах уравнения , т.е. , однако данное уравнение решений не имеет, т.к. правая часть делится на 5, а левая нет.

7. Интеграл расходится. Для доказательства достаточно показать, что при . Сделаем замену переменной . Тогда . Поскольку , то

т.к. сходится (это известно, см., например, ).Значит, и заданный в условии интеграл расходится.

8. Из уравнения следует, что . Для любых , имеем

Отсюда и следует ограниченность .

9. От противного. Пусть ограничена, т.е. существует С такое, что для всех n. Построим для каждой точки окрестность . Из условия , следует, что эти окрестности не пересекаются. Однако, в силу предположения, все они находятся внутри интервала . Поэтому сумма их длин не превосходит . С другой стороны, если взять первые N членов последовательности, то сумма длин соответствующих им интервалов равна . Из-за расходимости гармонического ряда эта сумма стремится к бесконечности при . Это противоречит полученному ранее условию ограниченности суммы длин. Значит, не может быть ограниченной.

10. Пусть , где .Непосредственной проверкой убеждаемся, что , , , .

Рассмотрим выражение

, , в силу рекуррентного соотношения. Сложим эти равенства для всех . Получим .

После упрощения получим .

Простая замена превращает это уравнение в уравнение Эйлера . Легко найти его частные решения вида : , , или .

Общее решение . Из начальных условий () находим и .

Ответ: .

Замечание. Решение уравнения Эйлера можно найти и стандартным способом, сведя его к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью логарифмической замены переменной.

11. Пусть - матрица имеет все целые элементы, и ее обратная также состоит из целых элементов. Тогда . Тогда или . Введем . есть полином степени n по t. Полином принимает значения 1 или -1 в точках Значит, принимает одно и тоже значение (1 или -1) по крайне мере в (n+1) точке. Но степень полинома равна n. Поэтому полином постоянен: или . Следовательно, или . Значит, матрица обратима. По формуле для элементов обратной матрицы получаем, что они все целые, т.к. определитель матрицы равен 1 или -1.

12. Определим последовательность функций следующим образом: , , . Найдем представление для членов последовательности. .

Поменяем порядок интегрирования: . . . . Аналогично, . Докажем по индукции. База уже проверена. Сделаем индукционный переход:

.Формула доказана.

По условию для всех n, т.е.

- есть полная система в , а функция f ортогональна всем ее элементам. Значит, . То есть .

Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на стоимость задачи).